1、考点规范练24解三角形基础巩固1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.在ABC中,已知acos A=bcos B,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案:D解析:acosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,A=B或2A+2B=180,即A=B或A+B=90,ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.在ABC中,
2、a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,cosB=12,B=3.又S=12acsinB=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案:B解析:依题意可得
3、AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.5.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.5答案:D解析:bcosA+acosB=c2,a=b=2,由余弦定理可得bb2+c2-a22bc+aa2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则AB
4、C的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.设ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案:D解析:ABC的三内角A,B,C成等差数列,B=3.sinA,sinB,sinC成等比数列,sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC为等边三角形.7.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案:
5、63解析:b2=a2+c2-2accosB,(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.SABC=12acsinB=12432332=63.8.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB=.答案:-14解析:由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+AB2=2.D,E,F重合于一点P,AE=AD=3,BF=BD=6,在ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos30=1,CE=CF=1.在BCF中,由余弦定理,
6、得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=22+12-(6)2221=-14.9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75,观察C点的俯角为30;在B位置时,观察D点的俯角为45,观察C点的俯角为60,且AB=3 km,则C,D之间的距离为.答案:5 km解析:在ABD中,BAD=75,ABD=45,ADB=60,由正弦定理可得ABsinADB=ADsinABD,即3sin60=ADsin45,AD=3sin45sin60=2(km),由题意得ABC=120,BAC=BCA=30,BC=AB=3km,AC=3km,在ACD
7、中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADsinDAC=5,即CD=5km.10.已知岛A南偏西38方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?参考数据:sin38=5314,sin22=3314解:设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,BAC=180-38-22=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120,解得BC2
8、=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC=ACsinBACBC=5327=5314,所以ABC=38.又BAD=38,所以BCAD.故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.能力提升11.(2021全国,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100,由B点测得A点
9、的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为(31.732)()A.346B.373C.446D.473答案:B解析:过点C作CDBB于点D,过点B作BEAA于点E(图略),由题意,CD=CB=100tan15,AE=BE=BA,AA-CC=AE+100=BA+100,在ABC中,由正弦定理得BCsinBAC=BAsinBCA,即100tan15sin75=BAsin45,BA=100tan15sin45sin75=100(3+1)273.2,AA-CC=BA+100373.2373.12.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosB,b=4
10、,则ABC的面积的最大值为()A.43B.23C.2D.3答案:A解析:在ABC中,2a-cb=cosCcosB,(2a-c)cosB=bcosC.(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.cosB=12,即B=3.由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac2ac-ac=ac,故ac16,当且仅当a=c时取等号,因此,ABC的面积S=12acsinB=34ac43,故选A.13.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果ABC的面积等于8,a=5,tan B=-43,
11、那么a+b+csinA+sinB+sinC=.答案:5654解析:在ABC中,tanB=-43,sinB=45,cosB=-35.又SABC=12acsinB=2c=8,c=4,b=a2+c2-2accosB=65.a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB=5654.14.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.因为sinA0,所以sinA+C2=sinB.由A+B+C=180,可得sinA+C2=c
12、osB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,所以sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.高考预测15.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A;(2)若a=2,b=23,求角C.解:(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsinA=2bc3sinA,cosA=b2+c2-a22bc=3sinA,tanA=33,0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,C=2或6.
