1、单元素养评价(二)(第十章)(120分钟150分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,bR,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则 (a+bi)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i【解析】选A.由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.2.复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.z=1-i,故z在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.
2、3.(2020全国卷)复数(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i【解析】选D.因为=-i,所以z=i.4.(2020合肥高一检测)复数z满足z(1-i)=,则复数z的实部是()A.-1B.1C.-D.【解析】选D.依题意=,所以z=+i,故z的实部为.5.(2020亳州高二检测)已知复数=x+yi(a,x,yR,i是虚数单位),则x+2y=()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.由题意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+(x+2y)i,所以x+2y=1,故选A.6.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为()A
3、.1B.-1C.1或-1D.1或0【解析】选C.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=1.7.(2020牡丹江高一检测)i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为()A.2B.-2C.-D.【解析】选A.因为=+i,复数为纯虚数,所以解得a=2.8.复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A,B,若O为坐标原点,则AOB等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为=-,所以它在复平面上的对应点为B,而复数2+i在复平面上的对应点是A(2,1),显然AO=,BO=,AB=.由余弦定理得cos AOB=,所以AOB=.二、多选题(本大题共4小题,每小题
4、5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.(1-i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【解析】选AC.(1-i)2=-2i,-2i是纯虚数,故A正确;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;i(1+i)=-1+i,不是纯虚数,排除D;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故C正确.10.已知aN,i为虚数单位,复数z=+i,若|z|,则a的值可能为()A.0B.1C.2D.3【解析】选ABC.z=+i=+i=+i=+i,由|z|得得a2-2a
5、-30,所以-1a3,又aN,所以a=0,1,2.11.(2020海南高一检测)已知x,yR,i为虚数单位,且i-y=-1+2i,复数z=,则以下结论正确的是()A.z的虚部为-2iB.z的模为2C.z的共轭复数为2iD.z对应的点在第四象限【解析】选BC.因为i-y=-1+2i,所以解得所以z=-2i.对于A,z的虚部为-2,A错误;对于B,=2,B正确;对于C,z的共轭复数为2i,C正确;对于D,z对应的点为,不在第四象限,D错误.12.(2020江阴高一检测)已知i为虚数单位,则下面说法正确的是()A.若复数z=3+i,则=-B.复数z满足=1,z在复平面内对应的点为,则x2+=1C.若
6、复数z1,z2满足z1=,则z1z20D.复数z=1-3i的虚部是3【解析】选ABC.由=-,故A正确;由z在复平面内对应的点为,则=1,即=1,则x2+=1,故B正确;设复数z1=a+bi,则z2=a-bi,所以z1z2=a2+b20,故C正确;复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=,z1+z2=.【解析】因为(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),所以z2=-2+3i.z1+z2=2-3i+(-2+3i)=0.答案:-2+3i014.设复数
7、a+bi(a,bR)的模为,则(a+bi)(a-bi)=.【解析】因为|a+bi|=,所以(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.答案:315.(2020西宁高一检测)设z-2i=,则=.【解析】因为z-2i=-i,所以z=2i-i=i,则|z|=1.答案:116.已知z,为复数,(1+3i)z为纯虚数,=,且|=5,则=.【解析】由题意设(1+3i)z=ki(k0且kR),则=.因为|=5,所以k=50,故=(7-i).答案:(7-i)四、解答题(本大题共6小题,共70分.)17.(10分)已知复数z1=2-3i,z2=.求:(1)z1z2.(2).【解析】z2=1-3i.(1)z1z2=
8、(2-3i)(1-3i)=-7-9i.(2)=+i.18.(12分)已知复数z=(1-i)2+1+3i.(1)求|z|.(2)若z2+az+b=,求实数a,b的值.【解析】z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i.(1)|z|=.(2)z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i,因为=1-i,所以a+b+(a+2)i=1-i,所以所以a=-3,b=4.19.(12分)(2020西藏高一检测)复数z=-+(6m-16)i.(i为虚数单位)(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;(2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围.
9、【解析】 (1)z=-+(6m-16)i,因为复数z为纯虚数,所以所以m=-2;(2)因为复数z对应的点在第三象限或第四象限,所以解得因此实数m的取值范围为(-8,-2).20.(12分)已知复数z满足(1+2i)=4+3i.(1)求复数z.(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为(1+2i)=4+3i,所以=2-i,所以z=2+i.(2)由(1)知z=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=2+(a+1)i2=4-(a+1)2+4(a+1)i,因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,所以解得-1a1,即实数a的取值范围为
10、(-1,1).21.(12分)(2020南京高一检测)已知z是复数,z+2i与均为实数(i为虚数单位),且复数在复平面上的对应点在第一象限.(1)求z的值;(2)求实数a的取值范围.【解析】(1)设z=x+yi,又z+2i=x+i,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以=,因为为实数,所以=0,解得x=4,所以z=4-2i.(2)因为复数=16-+8i=+i,所以解得2a6.即实数a的取值范围是.22.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以SABC=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以SABC=1.
