1、模块综合测评(时间:120分钟，满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A2iB2i C2iD2iC由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.2已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于()A B C DC由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选C3设zi，则|z|等于()A B CD2Bziiii，|z| .4某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的
2、分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45B50 C55D60B由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010.005)200.3.该班学生人数n50.5已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cmB2 cmC3 cm D cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)6已知向量a(cos 2，sin )，其中R，则|a|的最小值为()A1B2 CD3A因为a(cos 2，sin )，所以|a|，因为R，所以1cos 1，故|a|的最小值为1.故选A7已知5
3、件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A0.4B0.6 C0.8D1B5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种恰有一件次品的结果有6种，则其概率为P0.6.8在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A120，a2，b，则B等于()A B C或 DDA120，a2，b，由正弦定理可得，sin Bsin A.A120，B30，即B.二、多项选择题(本大题共4小题，
4、每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9已知m，n是直线，是平面，则下列说法中正确的是()A若，m，nm，则n或nB若，m，n，则mnC若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线D若m，nm且n，n，则n且nBD在A中，垂直于两平面交线的直线不一定垂直于两个平面，A错误；B正确；在C中，平面内垂直于m的射影的直线，m与它们都垂直，C错误；D正确故选BD10甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取
5、出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是()AP(B)B事件B与事件A1相互独立C事件B与事件A2相互独立DA1，A2互斥AD根据题意画出树状图，得到相关事件的样本点数：因此P(A1)，P(A2)，P(B)，A正确；又P(A1B)，因此P(A1B)P(A1)P(B)，B错误；同理，C错误；A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选AD11如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是()AA，B两个盒子串联后畅通的概率为BD，E两个盒子并联后畅通的概率为CA，B，C
6、三个盒子混联后畅通的概率为D当开关合上时，整个电路畅通的概率为ACD由题意知，P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(E)，所以A，B两个盒子畅通的概率为，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为11，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为11，C正确；当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确故选ACD12在ABC中，下列命题正确的是()A若AB，则sin Asin BB若sin 2Asin 2B，则ABC定为等腰三角形C若acos Bbcos Ac，则ABC定为直角三角形D若三角形的三边的比是357，则此三角形的最大角为钝角ACD在ABC中，若AB，则ab，因此sin Asi
7、n B，A正确；若sin 2Asin 2B，则2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；若acos Bbcos Ac，则sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)，所以sin Bcos A0，即cos A0，A，所以ABC定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是357，设最大边所对的角为，则cos ，因为，所以，D正确故选ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.ab，sin 21cos2 0，2sin cos c
8、os2 0，0，cos 0，2sin cos ，tan .14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_或由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.15如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_(第一空2分，第二空3分)4560BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角，即EGF，tanEGF1，EGF45，AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角，即GBF，tanGBF，GBF60.16一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶
9、点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥a2aa3.又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球a3，则其体积比为.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn，所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即si
10、n xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.18(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2， 求sin A和c的值解在ABC中，由cos B，得sin B，因为ABC，所以sin Csin(AB).因为sin Csin B，所以CB，可知C为锐角，所以cos C.因此sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由，可得a2c，又ac2，所以c1.19(本小题满分12分)为了选出参加全国移动互联创新大赛优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一
11、场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为，且各场输赢互不影响求甲恰好获胜两场的概率解设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A，B，C，则P(A)，P(B)，P(C)，则甲恰好获胜两场的概率为：PP( BC)P(A C)P(AB )P()P(B)P(C)P(A)P()P(C)P(A)P(B)P().20(本小题满分12分)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明(1)如图，连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，
12、G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB由ABBC，得GHBC又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.21(本小题满分12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值记交通指数为T，其范围为0,10，
13、分别有五个级别：T0,2)，畅通；T2,4)，基本畅通；T4,6)，轻度拥堵；T6,8)，中度拥堵；T8,10，严重拥堵在晚高峰时段(T2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率解(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个)，中度拥堵的路段有(0.250.2)12
14、09(个)，严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个)(2)由(1)知，拥堵路段共有69318(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为62，93，31，即从交通指数在4,6)，6,8)，8,10的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B
15、3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9个所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.22(本小题满分12分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB，又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.
