1、1.2.3简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数).知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y2x5lnx，yln(2x5)，ysin(x2).思考1这三个函数都是复合函数吗？答案函数yln(2x5)，ysin(x2)是复合函数，函数y2x5lnx不是复合函数.思考2试说明函数yln(2x5)是如何复合的？答案设u2x5，则ylnu，从而yln(2x5)可以看作是由ylnu和u2x5复合而成，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.思考3试求函数y
2、ln(2x5)的导数.答案yx(2x5).梳理复合函数求导法则若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.类型一简单复合函数求导例1求下列函数的导数.(1)ylog2(2x1)；(2)y2sin(3x)；(3)y.解(1)设ylog2u，u2x1，则yxyuux.(2)设y2sinu，u3x，则yxyuux2cosu36cos(3x).(3)设y，u12x，则yxyuux()(12x)(2).反思与感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数.求导时分清是对哪个变量求导.计算结果尽量简洁.跟踪训练1求下列函数的导数.(1)y103x2；
3、(2)ysin4xcos4x.解(1)令u3x2，则y10u，所以yxyuux10uln10(3x2)3103x2ln10.(2)因为ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x1(1cos4x)cos4x，所以yx(cos4x)sin4x.类型二复合函数导数的综合应用例2求下列函数的导数.(1)y；(2)yx；(3)yxcos(2x)sin(2x).解(1)(ln3x)(3x).yx.(2)yx(x)xx().(3)yxcos(2x)sin(2x)x(sin2x)cos2xxsin4x，yx(xsin4x)sin4xcos4x4sin4x2xcos4x
4、.反思与感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.跟踪训练2求下列函数的导数.(1)ysin2；(2)ysin3xsinx3；(3)y；(4)yxln(1x).解(1)y，yx()sinx.(2)yx(sin3xsinx3)(sin3x)(sinx3)3sin2xcosxcosx33x23sin2xcosx3x2cosx3.(3)yx.(4)yxxl
5、n(1x)xln(1x)ln(1x).命题角度2复合函数的导数与导数几何意义的综合应用例3设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切，求a，b的值.解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意，得a，故a0.反思与感悟此类题目正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.跟踪训练3已知函数f(x)ax22ln(
6、2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2相切，求a的值.解f(x)a(x2)2(2x)2ax，f(1)2a2，又f(1)a2ln1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)，即2(a1)xya20.直线l与圆C：x2y2相切，圆心(0,0)到直线l的距离为，解得a.1.设f(x)ex，则f(x)_.答案ex解析f(x)(x)exex.2.函数yx2cos(2x)的导数为_.答案2xcos(2x)2x2sin(2x)解析yx(x2)cos(2x)x2cos(2x)2xcos(2x)x2sin(2x)(2x)2xcos(2x)2x2sin(2x).3.函数
7、y(12x)4在x处的导数为_.答案0解析yx4(12x)3(12x)8(12x)3，当x时，yx0.4.已知f(x)ln(3x1)，则f(1)_.答案解析f(x)(3x1)，f(1).5.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.答案2解析由题意知，yxaeax.当x0时，yxa2.求简单复合函数f(axb)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再分别对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.课时作业一、填空题1.若f(x)，则f(x)_.答案解析f(
8、x)(13x)4，f(x)(13x)44(13x)5(13x)12(13x)5.2.函数y(x)5的导数为_.答案5(x)4(1)解析函数y(x)5是函数yu5与ux的复合函数，yxyuux5(x)4(1).3.若函数f(x)sin(2x)cos(2x)，则f(x)_.答案2cos4x解析f(x)sin(2x)cos(2x)sin2xcos2xsin4x，f(x)(sin4x)4cos4x2cos4x.4.函数ysin2xcos3x的导数是_.答案2cos2xcos3x3sin2xsin3x解析ysin2xcos3x，y(sin2x)cos3xsin2x(cos3x)2cos2xcos3x3s
9、in2xsin3x.5.曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率为_.答案2解析yxex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2.6.已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_.答案2解析设切点坐标是(x0，x01)，由题意，得得x01，a2.7.函数yxsin(2x)cos(2x)的导数为_.答案sin4x2xcos4x解析yxsin(2x)cos(2x)xcos2xsin2xsin4x，yx()sin4x()(sin4x)sin4x2xcos4x.8.曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_.答案解析由曲线在x0处的导数为2
10、e202，曲线在点(0,2)处的切线方程为y2x2.由得xy，A(，)，则围成的三角形的面积为1.9.若f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.答案1解析f(x)2(2xa)(2xa)4(2xa)，则f(2)4(22a)20，a1.10.若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_.答案(ln2,2)解析设P(x0，ex0)，yxex.当xx0时，有ex02，得x0ln2，P(ln2,2).二、解答题11.求函数yasinbcos22x(a，b是实常数)的导数.解(asin)acos()cos，又(cos22x)(cos4x)(sin4x)42sin4x，yasinb
11、cos22x的导数为yx(asin)b(cos22x)cos2bsin4x.12.曲线ye2xcos3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程.解由yx(e2xcos3x)(e2x)cos3xe2x(cos3x)2e2xcos3xe2x(3sin3x)e2x(2cos3x3sin3x)，当x0时，切线方程的斜率k2.则切线方程为y12(x0)，即2xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2xyc0，两平行线间的距离dc6或c4.故直线l的方程为2xy60或2xy40.13.求曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离.解作出直线l：2xy30和曲
12、线yln(2x1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，yx(2x1).设切点为P(x0，y0)，所以2，所以x01，所以y0ln(211)0，P(1,0).所以曲线yln(2x1)上的点到直线l：2xy30的最短距离为P(1,0)到直线l：2xy30的距离，最短距离d.三、探究与拓展14.已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_.答案2xy0解析设x0，则x0，f(x)ex1x.因为f(x)为偶函数，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，即所求的切线方程为y22(x1)，即2xy0.15.设曲线yex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式.解(1)yex，yx(ex)ex，当xt时，yxet.故切线方程为yetet(xt)，即xety(t1)0.(2)令y0，得xt1.令x0，得yet(t1).S(t)(t1)et(t1)(t1)2et(t0).
