1、单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin2x-3的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点()A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向左平行移动6个单位长度D.向右平行移动6个单位长度答案:D解析:由题意,为得到函数y=sin2x-3=sin2x-6,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动6个单位长度,故选D.2.已知tan +1tan=4,则cos2+4=()A.15B.14C.13D.12答案:B解析:由tan+1tan=4,得sincos+cos
2、sin=4,即sin2+cos2sincos=4,sincos=14,cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-2sincos2=1-2142=14.3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移02个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=3,则=()A.512B.3C.4D.6答案:D解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=2+2k(kZ),2x2-2=-2+2m(mZ)
3、,则x1-x2=2-+(k-m)(kZ,mZ).因为|x1-x2|min=3,0a=1,a+b+c2.故ABC的周长的取值范围是(2,3.6.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案:A解析:sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,2sinBco
4、sC=sinAcosC,又ABC为锐角三角形,2sinB=sinA,由正弦定理,得a=2b.故选A.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cos C=513,a=1,则b=.答案:2113解析:因为cosA=45,cosC=513,且A,C为ABC的内角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.8.已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一
5、点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案:152104解析:如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A-3co
6、s(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=53,b=5,求sin BsinC的值.解:(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=12(cosA=-2舍去).因为0A,所以A=3.(2)由S=12bcsinA=34bc=53,可得bc=20.由b=5,解得c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故a=21.由正弦定理,得sinBsinC=basinAcasinA=bca2sin2A=202134=57.10.(15分)已知函数f(x)=3sin
7、 2x-cos 2x的图象关于直线x=3对称,其中-12,52.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足fB2+12=253,b=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为f(x)=3sin2x-cos2x=2sin2x-6的图象关于直线x=3对称,所以23-6=k+2(kZ),所以=3k2+1(kZ).因为-12,52,所以-123k2+152(kZ),所以-1k1(kZ),所以k=0,=1,所以f(x)=2sin2x-6.(2)因为fB2+12=2sinB=253,所以sinB=53.因为B为锐角,所以0B2,所以cosB=23.因
8、为cosB=a2+c2-b22ac,所以a2+c2-b22ac=23,所以43ac=a2+c2-22ac-2,所以ac3,当且仅当a=c=3时,ac取到最大值3,所以ABC面积的最大值为12353=52.11.(15分)在ABC中,AC=BC=2,AB=23,AM=MC.(1)求BM的长;(2)设D是平面ABC内一动点,且满足BDM=23,求BD+12MD的取值范围.解:(1)在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC,代入数据得cosC=-12.AM=MC,CM=MA=12AC=1.在CBM中,由余弦定理,知BM2=CM2+CB2-2CMCBcosC,代入数据得BM=7.(2)设DBM=,则DMB=3-,0,3.在BDM中,由余弦定理知,BDsin3-=MDsin=BMsin23=273.BD=273sin3-,MD=273sin,BD+12MD=273sin3-+73sin=73(3cos-sin+sin)=7cos.又0,3,cos12,1,BD+12MD的取值范围为72,7.
