1、小题狂练（3）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则=A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，则故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分2. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的可加性，即可证明充分性成立；再根据作差法和不等式的性质，即
2、可证明必要性成立.【详解】若，则，所以，充分性成立若，则，即，又，所以，所以，即，必要性成立故“”是“”的充要条件故选:C.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，以及不等式性质的应用，属于基础题.3. 函数的图象大致为（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.【详解】由得的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除A，D；由题易知，图中两条虚线的方程为，则当时，排除C，所以B选项符合.故选：B【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.4. 函数定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
3、据函数的解析式知，解不等式组即可得定义域【详解】由函数，知解之得：故选：B【点睛】本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题5. 若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】分类讨论、分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求m的值；【详解】函数在上：当时，单调递减：最大值为，最小值，即有；当时，单调递增：最大值为，最小值，即有；综上，有或；故选：D【点睛】本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值，属于简单题.6. .若，则（ ）A. B. C. D. 【答
4、案】B【解析】【分析】利用对数函数的性质求解【详解】，01，01，21，要使logb2001，且01，故选B【点睛】本题考查两个数的大小的比较，注意对数函数的性质的合理运用，属于基础题7. 已知函数，若，则不等式的解集（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用已知条件求出的值，然后分类讨论解不等式即可.【详解】因为，所以，所以，所以，当时，由，解得，所以；当时，由，解得，故的解集为故选：D.【点睛】本题主要考查了利用分段函数解不等式的问题.属于较易题.8. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为
5、吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（ ）A. 元B. 元C. 元D. 元【答案】B【解析】【分析】列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量【详解】依题意，记每吨细颗粒物的平均处理成本为，则，当且仅当，即时取等号，当时，取最小值，最小值为（元）.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式属于较易题.二、多项选择题9.下列命题正确的是（ ）A. 在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B. 已知，当不变时，越大，的正态密度曲线越
6、矮胖C. 若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面平面D. 若平面平面，直线，则【答案】AB【解析】【分析】对选项A，根据独立性检验的原理即可判断，对选项B，根据正态曲线的几何特征即可判断，对选项C，D，利用面面和线面的位置关系即可判断.【详解】对选项A，因为随机变量的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A正确.对选项B，根据正态曲线的几何特征，即可判断B正确.对选项C，当平面与平面相交时，在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，故C错误.对选项D，若平面平面，直线，则直线有可能在平面内，故D错误.故选：AB【点睛】本题主要考查了独立性检验和正态分布，
7、同时考查了线面和面面的位置关系，属于简单题.10.已知函数（ ）A. 为的周期B. 对于任意，函数都满足C. 函数在上单调递减D. 的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.【详解】A.，即，所以为的周期，故A正确；B.，所以，故B正确；C.当时，此时，而 ，故C正确；D.由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，设，当时，即，当时，即，所以时，的最小值为-1，故D不正确.故选：ABC【点睛】本题考查三角函数的性质，重点
8、考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.11.关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 函数的图像在点处的切线方程为B. 是函数的一个极值点C. 当时，D. 当时，不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，由得；
9、由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则（ ）A B. 双曲线的离心率C. 双曲线的渐近线方程为D. 原点在以为圆心，为半径的圆上【答案】ABC【解析】【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项【详解】如图，设，则，
10、所以，所以，A正确；，在中，在中，即，所以，B正确；由得，渐近线方程为，C正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，与B矛盾，不成立，D错故选：ABC【点睛】本题考查双曲线的焦点弦有关问题，解题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用表示从而寻找到的选题关系可求得离心率和渐近线方程三、填空题13.已知数列中，则_【答案】16【解析】【分析】直接由递推式逐一计算得出【详解】由题意，故答案为：16【点睛】本题考查数列的递推公式，由递推公式求数列的项，如果项数较小，可直接利用递推公式逐一计算，如果项数较大，则需要从递推式寻找到规律，或求出通项公式，再去求某一项14.四张卡片上分别写有数字3、4、5、6
11、，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则_同学卡片上的数字最小【答案】丁【解析】【分析】根据题意，先得到甲的卡片数字只能是6，从而可分别得出其他同学的卡片数字，进而可得出结果.【详解】由题意，因为甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，所以甲的是4、乙的是6，或乙的是4、甲的是6；又甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则甲的卡片数字只能是6，所以乙的是4，丙的是5，故丁的是3.即丁同学卡片上的数字最小.故答案为：丁.【点睛】本题主要考查合情推理，根据题中条件合理推断即可，属于基础题型.15.已知，其中，则_【答案】3【解析
12、】【分析】是的系数，由多项式乘法结合二项式定理可得【详解】由题意展开式中的系数为，解得故答案为：3【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键对两个多项式相乘，注意乘法法则的应用16.在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，点为棱上的动点，则的最大值为_，若点为棱的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】连接交于点，根据正方体的特征，得到，为的中点，点到直线的距离最大为，由题中数据，求出，得到当点与点重合时，的面积最大；再由，即可求出的最大值；若点为棱的中点，连接交于点，连接，则点为右侧面的中心，取左侧面的中心为点，连接
13、，记的中点为，则为正方体的中心，连接，则，得到的外接圆圆心为点，根据球的结构特征，得到三棱锥外接球的球心在直线上，记作点，连接，设三棱锥外接球的半径为，根据题中条件，列出方程求解，即可得出，从而可求出球的表面积.【详解】连接交于点，因为四边形是正方形，分别为棱，的中点，所以易得，为的中点，且正方形中，点到直线的距离最大为，又正方体的棱长为，所以，因此，所以，所以，又点为棱上的动点，所以当点与点重合时，的面积最大，为；因为正方体中，平面，所以平面，又，所以；若点为棱的中点，连接交于点，连接，则点为右侧面的中心，取左侧面中心为点，连接，记的中点为，则为正方体的中心，连接，则，因为为棱的中点，所以，所以，因此，所以的外接圆圆心为点；又球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，平面，所以平面，因此三棱锥外接球的球心在直线上，记作点，连接，设三棱锥外接球的半径为，则，又，且，所以四边形为矩形，因此，所以，因为，所以，又，所以，解得：，所以该球的表面积为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查求三棱锥体积的最值，以及求三棱锥外接球的表面积，熟记简单几何体的结果特征，以及棱锥体积公式、球的表面积公式即可，属于常考题型，难度较大.
