1、2012 高考数学信息卷三一、填空题1. 已知，则=.提示：依题意得，又，则.2. 已知函数，若，则的取值范围是（-1,3）.提示：由题知，若，则9+，即，解得.3. 如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则= .提示：依题意得，所以是等腰直 角三角形，又斜边上的高为2，因此有=4, 即 该函数的最小正周期的一半为4，所以，.4. 已知是等比数列，则的取值范围是 4,8) .提示： 因为是等比数列，所以可设.因为，所以，解得.所以.因为，所以. 5.在中，为中点，,则=.提示：在和中分别使用正弦定理即可.6. 在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .提
2、示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、 、上. 或者，若在上，设,有.故上有一点（的中点）满足条件.同理在、上各有一点满足条件. 又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.7. 已知、是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、的斜率分别记为、, ,则 -5 .提示：设、，由.得，即. ， ，.二、解答题1. 已知关于x的不等式.(1)当时，求此不等式的解集；(2)当时，求此不等式的解集.解：(1) 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.(2) 当时,不等式可化为， 当时，解集为 当时，解集为时，解集为2. 已知菱形中
3、，将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置，点、分别是、的中点.(1) 证明：/平面.(2) 证明：.(3) 当时，求线段的长。解：（1）证明：，/平面. (2) 证明：取中点，连，在菱形中 , 所以平面，所以.(3) ,平面，.3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点(1) 若BC=a=20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若AB=AC=10,在折线内选一点，使，求四边形储存区域DBAC的最大面积. 解：(1)设由，得. 即 (2) 由，知点在以，为焦点的椭圆上，要使四边形DBAC面积最
4、大，只需的面积最大，此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点由，得短半轴长面积的最大值为.因此，四边形ACDB面积的最大值为4. 已知是以为首项，为公比的等比数列，为它的前项和.(1) 当成等差数列时，求的值；(2) 当成等差数列时，求证：对任意自然数也成等差数列.解：(1) 若公比，则.,不满足成等差数列，.成等差数列,即，即.,.又，.即，.(2) 若公比，则，成等差数列;若公比，由成等差数列，得，即，.又，也成等差数列.5. 已知双曲线. (1) 若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点，求椭圆方程. (2) 设(1)中椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，直线为椭圆的右准线，为上的一动点，且在
5、轴上方，直线与椭圆交于点M. 若,求的余弦值；(3) 设过三点的圆与轴交于两点,当线段的中点为时，求这个圆的方程.解：(1)双曲线焦点为，设椭圆方程为.则 .故椭圆方程为.(2) 由已知， 直线的方程为.设, 由点在椭圆上，得故所求的点M的坐标为.所以.(3) 设圆的方程为将三点坐标代入，得得圆的方程为令得设，则由线段的中点为，得.此时，所求圆的方程为6定义在D上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数 的上界.已知函数.(1) 当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由；(2) 若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的
6、取值范围.解：(1)时，上单调递增，故函数在上的值域为又,不存在常数，使都成立.故函数在上不是有界函数.(2) 若函数在上是以3为上界的有界函数,则在上恒成立.即即在上恒成立.令，.令，则.令，则.实数的取值范围为三、理科附加题1.如图，两点间有5条线，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为.(1)写出信息总量的分布列.(2)求信息总量的数学期望.解：(1)由题意得,的可能取值为7, 8, 9, 10.的分布列为： 78910 (2)2. 已知抛物线的方程为，直线截抛物线所得弦.(1) 求的值；(2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) 由解得,所以，所以.(2) 由(1)得，,假设抛物线上存在异于点、的点，使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.令圆的圆心为，则由得得，因为抛物线在点处的切线斜率，又该切线与垂直，所以所以因为，所以.故存在点且坐标为.
