1、单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)1.若平面平面,且平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直答案:C解析:,a,b,ab,当=a时,b;当=b时,a,其他情形则未必有b或a,所以选项A,B,D都错误,故选C.2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2+1B.2+3C.32+1D.32+3答案:A解析:V=1331212+1221=2+1,故选A.3.(2020全国,文3
2、)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14B.5-12C.5+14D.5+12答案:C解析:如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h,则有h2=12ah,h2=h2-a22,因此有h2-a22=12ah,化简得4ha2-2ha-1=0,解得ha=5+14.(负值舍去)4.(2020山东,4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A
3、的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20B.40C.50D.90答案:B解析:由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷针与点A处的水平面所成角为40,故选B.5.如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则
4、()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案:B解析:如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2
5、,BM=34+254=7,BMEN.故选B.二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)6.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为.答案:5解析:因为三视图对应的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,满足侧面PAD底面ABCD,PAD为等腰直角三角形,且高为2,如图所示,可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为1242+22=5.7.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD的形状一定是.答案:菱形解析:因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面P
6、AC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.8.已知A,B,C,D是球面上不共面的四点,AB=AC=3,BD=CD=2,BC=6,平面ABC平面BCD,则此球的体积为.答案:823解析:如图所示,设球心坐标为O,连接OD,交BC于点E,连接AE,由题意可知OE2+AE2=OA2.设球的半径R=OD=OA=x,由题意,得22-x2+622=x2,解得x=2,则此球的体积为V=43R3=823.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如下的三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体
7、的直观图,它的正视图和侧视图在右面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC,证明BC平面EFG.答案:(1)解如图:(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-1312222=2843(cm3).(3)证明在长方体ABCD-ABCD中,连接AD,则ADBC.因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG.从而EGBC.又BC平面EFG,所以BC平面EFG.10.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ACAB,AC=AB=AA1=2,AA1
8、B1=60,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.解:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB.因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为AA1B1=60,连接AB1,所以AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AEA1B1,且AE=3.又ABA1B1,所以AEAB.又侧面ABB1A1底面ABC,且侧面ABB1A1底面ABC=AB,又AE侧面ABB1A1,所以AE底面ABC,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
9、V=SABCAE=12ABACAE=12223=23.(2)在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.理由如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,交点为P.连接CP.因为A1B1AB,故PEPB=PA1PA=A1EAB.因为E为棱A1B1的中点,AB=A1B1,所以A1EAB=12,所以PE=EB.又F为棱BC的中点,所以EF为BCP的中位线,所以EFCP.又EF平面AEF,CP平面AEF,所以CP平面AEF.故在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.此时,PA1=AA1=2,所以AP=2AA1=4.11.(15分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形
10、,ACBC,且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.答案:(1)证明因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,平面VAB平面ABC=AB,OC平面ABC,所以OC平面VAB,所以平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=3.又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13OCSVAB=33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33.
