1、函数的图象专题检测1.(2020北京八中三月模拟,5)已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于x轴对称,则f(x)=()A.-2xB.2-xC.-log2xD.log2x答案A由函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于x轴对称,得f(x)=-g(x)=-2x,故选A.2.函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为-1,0)(0,1,则不等式 f(x)-f(-x)-1的解集是()A.x|-1x1且x0B.x|-1x0C.x-1x0或12x1D.x-1x-12或0-12f(x)-1f(x)-12-1x-12或0x1.故选D.3.现有四个函数:y=xsinx;y
2、=xcosx;y=x|cosx|;y=x2x.它们的图象(部分)如下,但顺序已被打乱,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号排列正确的一组是()A.B.C.D.答案D函数y=xsinx是偶函数,由图象知,函数对应第一个图象;函数y=xcosx是奇函数,且当x=时,y=-0时,y0,故函数与第四个图象对应;函数y=x2x为非奇非偶函数,与第二个图象对应.综上可知,选D.4.(2018北京海淀一模,7)下列函数中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足y|x|的函数是()A.f(x)=x3B.f(x)=xC.f(x)=ex-1D.f(x)=ln(x+1)答案D在同一直角坐标系中分别作出A,B,
3、C,D选项中y=f(x)和y=|x|的图象,如图所示.由图象可知选D.5.(2019北京朝阳期中,7)已知函数f(x)=2x,x0,f(x-2),x0,当12m34时,方程f(x)=-18x+m的根的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C方程f(x)=-18x+m的根的个数,即函数y=f(x)与y=-18x+m的图象的交点个数.当m=12或m=34时,在同一坐标系下画出两个函数的图象如图所示,由图可知,当12m34时,两个函数的图象总是有3个交点,即当12m0,ex(x+1),x0.若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b的取值范围是()A.(1,+)B.-1e2,0C.(1,+)0
4、D.(0,1答案D令g(x)=f(x)-b=0,函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于f(x)=b有三个根,当x0时,f(x)=ex(x+1),则f(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2),由f(x)0得ex(x+2)0,即x0得ex(x+2)0,即-2x0,此时f(x)为增函数,即当x=-2时,f(x)取得极小值f(-2)=-1e2.作出f(x)的图象如图,要使f(x)=b有三个根,则00,=4-12a0,即a13时,f(x)0恒成立,此时f(x)在R上单调递增,所以选项A可能.当a0,=4-12a0,即a13且a0时,f(x)=3ax2+2x+1=0有两个解,即存在两个极值,所以选
5、项B,C可能.当a0且a1)的定义域与值域都是m,n(mn),则a的取值范围是()A.(1,+)B.(e,+)C.(1,e)D.(1,e1e)答案Df(x)=logax的定义域与值域相同,等价于方程f(x)=logax=x有两个不等的实数解.logax=x,lnxlna=x,lna=lnxx有两个不等实数解,问题等价于直线y=lna与函数y=lnxx的图象有两个交点.作函数y=lnxx的图象,如图所示.根据图象可知,当0lna1e,即1am+1.在同一坐标系下,作出两个函数的图象,如图:故由图象得到选项D错误,应该是一个交点.综上所述,选B.10.(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)
6、=x2-2ax+15-2a,x(0,+)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是.答案3110,196解析令f(x)=0,即x2+15=2a(x+1),所以x2+15x+1=2a,令x+1=t,则t1,问题转化为(t-1)2+15t=2a在(1,+)上的两个解t1,t2之间恰有两个正整数.作出函数y=t+16t-2和y=2a的图象(如图所示).易知,仅需t=3,t=5恰有一个满足条件即可,而当t=3时,y=193;t=5时,y=315.当2a=315,即a=3110时,f(x)=x2-315x+15-315=x2-315x+445.令f(x)=
7、0,解得x1=115,x2=4.此时(x1,x2)内只有1个正整数.故3152a193,所以3110a196,因而实数a的取值范围是3110,196.11.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,17)在直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点.如果函数f(x)的图象恰好通过k(kN*)个格点,则称函数f(x)为k阶格点函数,给出下列函数:f(x)=log2x;f(x)=12x;f(x)=32x2-62x+32+1;f(x)=sin4x+cos4x.其中是一阶格点函数的为.(只填序号)答案解析函数f(x)=log2x的图象过格点(2n,2n),其中nN,有无数个格点,故不是一阶格点函数;f(x
8、)=12x的图象过格点(-n,2n),其中nN,有无数个格点,故不是一阶格点函数;f(x)=32(x-1)2+1的图象过格点(1,1),且当x1,xZ时,f(x)的值不是整数,故是一阶格点函数;f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-12sin22x=34+14cos4x,显然f(x)的值域为12,1,要使f(x)的值是整数,则f(x)=1,此时cos4x=1,得x=k2,kZ,当且仅当k=0时,x取整数,故是一阶格点函数.12.(2018浙江镇海中学阶段性测试,17)已知函数y=f(x)和y=g(x)在-2,2上的图象如下图所示.给出下列四
9、个命题:方程f(g(x)=0有且仅有6个根;方程g(f(x)=0有且仅有3个根;方程f(f(x)=0有且仅有5个根;方程g(g(x)=0有且仅有4个根.其中正确的命题为.答案解析由题图知方程f(t)=0有三个根,t1(-2,-1),t2=0,t3(1,2),由题图知方程g(x)=t1有两个不同的根,方程g(x)=t2=0有两个不同的根,方程g(x)=t3有两个不同的根,则方程f(g(x)=0有且仅有6个根.故正确.由题图知方程g(u)=0有两个根u1(-2,-1),u2(0,1),由题图知方程f(x)=u1只有1个根,方程f(x)=u2有三个不同的根,则方程g(f(x)=0有且仅有4个根.故不
10、正确.由题图知方程f(x)=t1只有1个根,方程f(x)=t2=0有三个不同的根,方程f(x)=t3只有1个根,则方程f(f(x)=0有且仅有5个根.故正确.由图知方程g(x)=u1有两个不同的根,方程g(x)=u2有两个不同的根,则方程g(g(x)=0有且仅有4个根.故正确.故正确.13.(2017浙江衢州质量检测(1月),22)已知函数f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,aR.(1)当a=1时,求f(x)在区间-1,1上的最大值;(2)求f(x)在区间-1,1上的最大值M(a)的最小值;(3)若关于x的方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上有两个解,求a的取值范围.解析(1)当
11、a=1时,f(x)=|x2-1|,f(x)在区间-1,1上的最大值为1.(2)由于f(x)=|x2-a|在区间-1,1上是偶函数,故只需考虑f(x)在区间0,1上的最大值即可.若a0,则f(x)=x2-a,它在0,1上是增函数,故M(a)=1-a.当0a12时,M(a)=1-a,当a12时,M(a)=a,故当a=12时,M(a)取得最小值,且最小值为12.(3)令y=f(x)+g(x)=|x2-a|+x2-ax.当a=0时,y=2x2.令y=0,得x=0,不符合题意.当a0时,y=2x2-ax-a的图象的对称轴为x=a40,故方程f(x)+g(x)=0在(0,2)上不存在解.当a0时,y=2x2-ax-a(xa),-ax+a(-axa),令h(x)=2x2-ax-a.由h(0)=-a0知,方程h(x)=0在(0,+)只有一解,又x=1是方程-ax+a=0的解,所以a1,方程h(x)=0在(1,2)上必有一解.由h(1)h(2)0,得(2-2a)(8-3a)0,所以1a83,综上所述,a的取值范围为1a83.
