1、小题狂练(29)一、单选题1. “十二平均律” 是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列,利用等比数列的相关性质可解.详解:因为每一个单音与前一个单音频率比为,所以,又,则故选D.点睛:此题考查等比数列实际应用,解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种
2、:(1)定义法,若()或(), 数列是等比数列;(2)等比中项公式法,若数列中,且(),则数列是等比数列.2. (2017新课标全国I理科)记为等差数列的前项和若,则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为,联立解得,故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若,则.3. 已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由,可知当时,有,即,反之,若,则,所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件,选C【名师点睛】本题考查等
3、差数列的前项和公式,通过套入公式与简单运算,可知, 结合充分必要性的判断,若,则是的充分条件,若,则是的必要条件,该题“”“”,故互为充要条件4. 等比数列的各项均为正数,且,则( )A. 12B. 10C. 9D. 【答案】C【解析】【分析】由等比数列下标和性质可求得,结合对数的运算法则可求得结果.【详解】由等比数列下标和的性质可得:,等比数列的各项均为正数,.故选:【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用,涉及到对数的运算,属于基础题.5. 等差数列中,且,为其前项和,则( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【分析】由题意可得:由等差数列的性质可得 即可得到答案.【详解】
4、由题意可得:因为a100,a110,且a11|a10|,所以由等差数列的性质可得:故选B【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,掌握等差数列的前n项和公式6. 已知数列的前项和为,若存在两项,使得,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由,可得两式相减可得公比的值,由可得首项的值,结合可得,展开后利用基本不等式可得时取得最小值,结合为整数,检验即可得结果.【详解】因为,所以.两式相减化简可得,公比,由可得,则,解得,当且仅当时取等号,此时,解得,取整数,均值不等式等号条件取不到,则,验证可得,当时,取最小值为,故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定
5、义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).7. 已知正项等比数列满足,若存在两项,使得,则的最小值为( )A. 9B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的知识求出m与n的关系,再利用基本不等式求解出最值.【详解】因为,所以,解得或,因为,所以, 因此依次代入得当时,取最小值.故选:B.【
6、点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数,所以采取逐一代入法较为简单.8. 数列an满足an+1+(1)nan=2n1,则an的前60项和为()A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830【答案】D【解析】【详解】由于数列an满足an+1+(1)nan=2n1,故有 a2a1=1,a3+a2=3,a4a3=5,a5+a4=7,a6a5=9,a7+a6=11,a50a49=97从而可得 a3
7、+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a11=2,a12+a10=40,a13+a15=2,a16+a14=56,从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+(158+)=1830,故选D9. 已知数列满足设,为数列的前项和若(常数),则的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时,类比写出,两式相减整理得,当时,求得,从而求得数列和的通项公式.;再运用错位相减法求出,结合的性质,确定的最小值.【详解】 当时,类比写出 由-得 ,即
8、.当时, -得,(常数),的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理选用.1、已知数列前项和与的关系式,求数列的通项公式的方法如下:(1)当时,用替换中的得到一个新的关系,利用 便可求出当时的表达式; (2)当时, 求出;(3)对时的结果进行检验,看是否符合时的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分与两段来写2、错位相减法:若,其中是等差数列,是公比为等比数列,那么这个数列的前项和即可用此法来求数列前项和,则,两式错位相减并整理即得.10. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件
9、.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由题意得,数列如下:则该数列的前项和为,要使,有,此时,所以是第组等比数列的部分和,设,所以,则,此时,所以对应满足条件的最小整数,故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列
10、融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.二、多选题11. 设是等差数列,是其前项的和,且,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 与均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由是等差数列,是其前项的和,且,则,再代入逐一检验即可得解.【详解】解:由是等差数列,是其前项的和,且,则,则数列为递减数列,即选项A,B正确,由,即,即选项C错误,由,可得与均为的最大值,即选项D正确, 故选:ABD. 【点睛】本题
11、考查了等差数列的性质,重点考查了运算能力,属基础题.12. 已知数列是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】主要分析数列中的项是否可能为0,如果可能为0,则不能是等比数列,在不为0时,根据等比数列的定义确定【详解】时,数列不一定是等比数列,时,数列不一定是等比数列,由等比数列的定义知和都是等比数列故选AD【点睛】本题考查等比数列的定义,掌握等比数列的定义是解题基础特别注意只要数列中有一项为0,则数列不可能是等比数列三、填空题13. (2017新课标全国II理科)等差数列的前项和为,则_【答案】【解析】设等差数列的首项为,公差为,由题意
12、有 ,解得 ,数列的前n项和,裂项可得,所以点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用得方法使用裂项法求和时,要注意正、负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点14. 等比数列的前项和为, ,若,则_【答案】【解析】【分析】由等比数列的求和公式及得,再利用通项公式求即可【详解】由题知公比,所以,解得,所以.故答案为【点睛】本题考查等比数列的通项及
13、求和公式,熟记公式准确计算是关键,是基础题15. 数列的首项,且,令,则_【答案】【解析】【分析】构造数列,并求得数列的通项公式;再代入对数中求得数列的通项公式,进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前n项和【详解】因为所以所以 且所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列所以 即代入得 设数列的前n项和为 则则【点睛】本题考查了数列的综合应用,关键是构造出数列,并求得数列的通项公式,等差数列求和的应用也是重点,属于中档题16. 已知数列 中,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得,运用累加法和裂项相消求和可得,再由不等式恒成立问题可得恒成立,转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】由题意数列中,即,则有,则有又对于任意的,不等式恒成立,即对于任意的恒成立,即对于任意的恒成立,则,解得或.故答案为:.【点睛】本题考查了数列递推公式,涉及数列的求和,注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法,关键是将变形为