1、小题狂练（29）一、单选题1. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种
2、：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.2. （2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.3. 已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d0”是A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d0”是“S4 + S62S5”的充要条件，选C【名师点睛】本题考查等
3、差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件4. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A. 12B. 10C. 9D. 【答案】C【解析】【分析】由等比数列下标和性质可求得，结合对数的运算法则可求得结果.【详解】由等比数列下标和的性质可得：，等比数列的各项均为正数，.故选：【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数的运算，属于基础题.5. 等差数列中，且，为其前项和，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得 即可得到答案.【详解】
4、由题意可得：因为a100，a110，且a11|a10|，所以由等差数列的性质可得：故选B【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n项和公式6. 已知数列的前项和为，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由，可得两式相减可得公比的值，由可得首项的值，结合可得，展开后利用基本不等式可得时取得最小值，结合为整数，检验即可得结果.【详解】因为，所以.两式相减化简可得，公比，由可得，则，解得，当且仅当时取等号，此时，解得，取整数，均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当时，取最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定
5、义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）A. 9B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.【详解】因为，所以，解得或，因为，所以， 因此依次代入得当时，取最小值.故选：B.【
6、点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.8. 数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为（）A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830【答案】D【解析】【详解】由于数列an满足an+1+（1）nan=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得 a3
7、+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+）=1830，故选D9. 已知数列满足设，为数列的前项和若（常数），则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】 当时，类比写出 由-得 ，即
8、.当时， -得，（常数），的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （2）当时， 求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求数列前项和，则，两式错位相减并整理即得.10. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件
9、.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列
10、融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、多选题11. 设是等差数列，是其前项的和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 与均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由是等差数列，是其前项的和，且，则，再代入逐一检验即可得解.【详解】解：由是等差数列，是其前项的和，且，则，则数列为递减数列，即选项A，B正确，由，即，即选项C错误，由，可得与均为的最大值，即选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】本题
11、考查了等差数列的性质，重点考查了运算能力，属基础题.12. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定【详解】时，数列不一定是等比数列，时，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列故选AD【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列三、填空题13. （2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，则_【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意
12、有 ，解得 ，数列的前n项和，裂项可得，所以点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点14. 等比数列的前项和为， ，若，则_【答案】【解析】【分析】由等比数列的求和公式及得，再利用通项公式求即可【详解】由题知公比，所以，解得，所以.故答案为【点睛】本题考查等比数列的通项及
13、求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题15. 数列的首项，且，令，则_【答案】【解析】【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前n项和【详解】因为所以所以 且所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列所以 即代入得 设数列的前n项和为 则则【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题16. 已知数列 中，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得恒成立，转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】由题意数列中，即，则有，则有又对于任意的，不等式恒成立，即对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，则，解得或.故答案为：.【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将变形为