1、课时作业73不等式的证明基础达标12018江苏卷若x,y,z为实数,且x2y2z6,求x2y2z2的最小值证明:由柯西不等式,得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6,所以x2y2z24,当且仅当时,等号成立,此时x,y,z,所以x2y2z2的最小值为4.22019云南大理模拟已知函数f(x)|x|x3|.(1)解关于x的不等式f(x)5x;(2)设m,ny|yf(x),试比较mn4与2(mn)的大小解析:(1)f(x)|x|x3|f(x)5x,即或或解得x或x或x8,所以不等式的解集为8,)(2)由(1)易知f(x)3,所以m3,n3.由于2(mn)(mn4)2m
2、mn2n4(m2)(2n)且m3,n3,所以m20,2n0,即(m2)(2n)0,所以2(mn)mn4.32019河北省“五个一名校联盟”高三考试已知函数f(x)|2x1|,xR.(1)解不等式f(x)|x|1;(2)若对x,yR,有|xy1|,|2y1|,求证:f(x)1.解析:(1)f(x)|x|1,|2x1|x|1,即或或得x2或0x或无解故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明:f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|21.42019安徽省知名示范高中质检已知x,y,z,均为正实数(1)求证:;(2)若xyz1,求证:2.证明:(
3、1)要证,即证(1)(x2y2)(xy)2,而(1)(x2y2)(xy)2(xy)20,当且仅当xy时取等号,故原不等式成立(2)由(1)可得(当且仅当xy2y,即xy时取等号),同理可得(当且仅当yz2z,即yz时取等号),(当且仅当zx2x,即xz时取等号),所以2(xyz)2,当且仅当xyz时取等号52019广州测试已知函数f(x)|2x1|2x1|,不等式f(x)2的解集为M.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|ab|1.解析:(1)f(x)2,即|2x1|2x1|2,当x时,得(2x1)(12x)2,解得x,故x;当x时,得(2x1)(2x1)2,即22,故x;当x时,得(
4、2x1)(2x1)2,解得x,故x.所以不等式f(x)2的解集M.(2)证法一当a,bM时,a,b,得|a|,|b|.当(ab)(ab)0时,|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|1,当(ab)(ab)0时,|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|1,所以|ab|ab|1.证法二当a,bM时,a,b,得|a|,|b|.(|ab|ab|)22(a2b2)2|a2b2|因为a2,b2,所以4a21,4b21.故(|ab|ab|)21,所以|ab|ab|1.62019南昌模拟已知函数f(x)|x1|x2|4.(1)求不等式f(x)2的解集M;(2)若a,bM,minA表示数集A中的最小数,若hmin,证明:hf(x)解析:(1)由题意得,或或解得x,Mx|x(2)证法一由题意知,h2,a2b22ab,当且仅当ab时等号成立,h21,0h1.|x1|x2|(x1)(x2)|3,3|x1|x2|3,f(x)1h,得证证法二由f(x)结合f(x)的图象(图略)可得f(x)1.b,2b1,1,当且仅当ab时等号成立,hf(x)能力挑战7求证:12(nN*且n2)证明:k(k1)k2k(k1)(kN*且k2),即.分别令k2,3,n得1,将这些不等式相加得1,即1,1111,即12(nN*且n2)成立