1、专题八 导数、定积分的概念及运算雷区1：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误例1：若直线与曲线相切，试求的值（提示即过原点的切线） 错解：，则斜率 知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线【分析】由题，直线过原点，则设切点为，解得或，故例2：已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为. 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.化简，得，或.若，则，过点的切线方程为；若，
2、则，过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或1、若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（ ）A或 B或 C或 D或易爆警示函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”雷区2：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚例3：已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）错解：选 概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于，且两边值符号相反，故
3、0和2为极值点；又因为当时，当时，所以函数在上为增函数，在上为减函数【分析】由导函数图象可知当时，时，可知原函数在，单调递增，单调递减，正确答案：C2、已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）3、函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） 【分析】由函数图像可知函数在上均为减函数，所以函数的导数值，故D正确4、已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A BC D易爆警示导函数值的符号与原函数单调性的关系函数看增减，导函数看正负雷区3：求定积分对原函数处理不当致误例4：定义在上的函数过点，且，则 错解：由已知，则 对原函数的理解不透彻，误认为是【分析】，
4、又由函数过点，得，例5：定积分 错解： 误将被积函数的原函数认为是【分析】5、已知为一次函数，且，则 易爆警示求导与积分是两个互逆的运算，通过逆向思维探寻原函数，所以要熟记基本函数的导数，结合求导法则确定原函数计算定积分要注意以下几点：对被积函数要先化简，再求积分；求被积函数为分段函数的定积分，要根据定积分“对区间的可加性”，分段积分分段求和；对于含有绝对值符合的被积函数，要先去掉绝对值再求积分雷区4：因对定积分表示的几何意义理解不透彻致误例6：求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积.错解：分两部分，在，在，因此所求面积为. 面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，
5、而是面积的相反数，所以不应该将两部分直接相加.【分析】.例7：已知二次函数，直线：，其中，为常数，：若直线，与函数的图象以及轴所围成的封闭图形如图的阴影所示，求阴影面积关于的函数的解析式错解： 如果对一个函数在的范围内进行定积分，则其几何意义是该函数曲线与，这三条直线所夹的区域的面积，其中在轴上方的部分的面积为正值，反之，面积为负值6、如图所示，由函数与函数在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）A B C D易爆警示利用定积分计算曲边形的面积，应注意观察图象的特征，图象位于横轴上方或下方，面积表达式有所不同由曲线，与直线，（）所围成的曲边形的面积，被积函数中的绝对值是不可少的，在具体解题
6、中就是根据两个函数，图象位置的高低，用分段的形式将面积表示出来 1已知在上可导的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A、 B、 C、 D、【分析】由图象单调性可得在大于0，在（-1，0）上小于0，的解集为2设函在定数义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）【分析】由函数图象可知在轴左侧为增函数，右侧从左至右依次为增、减、增，利用导函数的性质，可知选D3已知直线与曲线相切于点，则实数的值为 4已知曲线，求曲线过点的切线方程.【分析】设过点的切线与曲线切于点，则切线斜率，所以切线方程为，因为点在切线上，则，又，所以，即，所以或，可得所求切线方程为或5定积分等于（ ）A3 B3 C6 D6【分析】因,故选C6由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）A B C D 【分析】由题如图： .7如图，由函数的图象，直线及轴所围成的阴影部分面积等于（ ）A B C D 8已知函数的图象如图所示，它与轴在原点相切，且轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为,则的值为 . 【分析】由图可知，有两个相等实根，所以，由，得或，由图可知故9求由直线，及曲线所围成的图形的面积10已知为一次函数，且.（1）求的解析式；（2）求曲线与x轴围成的区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积【分析】（1） 设可得；（2），
