1、单元素养评价(一) (第13章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.集合A=xR|x(x-1)(x-2)=0,则集合A的非空子集的个数为()A.4B.8C.7D.6【解析】选C.集合A=xR|x(x-1)(x-2)=0=0,1,2,共有23=8个子集,其中非空子集有7个.2.命题“xR,x2+x+10”的否定为()A.xR,x2+x+10B.xR,x2+x+10C.xR,x2+x+10D.xR,x2+x+10【解析】选B.由题意得原命题的否定为xR,x2+x+10.3.若a,b,cR且ab,则下列不等式成立的是()A.a2b2B.bD.【解析】选D.选项A: a=0,b
2、=-1,符合ab,但不等式a2b2不成立,故本选项是错误的;选项B:当a=0,b=-1符合已知条件,但零没有倒数,故b不成立,故本选项是错误的;选项D:因为c2+10,所以根据不等式的性质,由ab能推出.4.已知集合A=,B=,则AB=()A.B.C.D.【解析】选C.因为A=,B=,所以AB=.5.(2019浙江高考)若a0,b0,则“a+b4”是“ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.如图所示,由a0,b0,a+b4ab4,反之不成立.所以“a+b4”是“ab4”的充分不必要条件.6.(-6a3)的最大值为()A.9B.C.
3、3D.【解析】选B.因为-6a3,所以3-a0,a+60,所以=(当且仅当a=-时取等号).即(-6a3)的最大值为.7.不等式mx2-ax-10(m0)的解集可能是()A.B.RC.D.【解析】选A.因为=a2+4m0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项.8.某市原来居民用电价为0.52元/(kWh),换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/(kWh),谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/(kWh).对于一个平均每月用电量为200kWh的家庭,换装分时电表后,每月节省的电费不少于原来电费
4、的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()A.110kWhB.114kWhC.118kWh D.120kWh【解析】选C.设每月峰时段的平均用电量为x kWh,则谷时段的用电量为(200-x)kWh;根据题意得(0.52-0.55)x+(0.52-0.35)(200-x)2000.5210%,解得x118.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kWh.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题是真命题的是()A.若x=1,则x2+x-2=0B.若x2=16,则x=4C.若AB,mA,则mBD.全等三角形的面积相等【解析
5、】选AD.x2=16时x=4,B是假命题,若AB,mA,m不一定属于B,C是假命题;AD是真命题.10.如果是的充分不必要条件,则a的值可以是()A.-1B.0C.2D.3【解析】选CD.因为是的充分不必要条件,所以,故a的值可以是2,3.11.下列不等式不正确的是()A.2B.2C.xyD.【解析】选BCD.因为x与同号,所以=|x|+2,当且仅当x=1时,等号成立,A正确;当x,y异号时,B不正确;当x=y时,=xy,C不正确;当x=1,y=-1时,D不正确.12.已知二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y-2x的解集为,则()A.a-2x的解集为,即关于x的二次不等式ax2+x+c0的
6、解集为,则a0.由题意可知,1,3为关于x的二次方程ax2+x+c=0的两根,由根与系数的关系得-=1+3=4,=13=3,所以b=-4a-2,c=3a,所以y=ax2-x+3a.由题意知,关于x的方程y+6a=0有两相等的根,即关于x的二次方程ax2-x+9a=0有两相等的根,则=-36a2=0,因为a0,解得a=-.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知集合U=,A=,则UA=.【解析】因为U=,A=,所以UA=答案:14.若二次函数y=x2-mx+3有且只有一个零点,则m=.【解析】二次函数y=x2-mx+3有且只有一个零点,等价于方程x2-mx+3=0的判别式=m2-12=0,所
7、以m=2.答案:215.已知A=x|1x2,B=x|x2-2ax+a2-1a-1,所以B=x|a-1xa+1.因为AB,所以解得1a2.答案:1a216.若0x,则函数y=x的最大值为.【解析】因为0x0,所以x=2x=,当且仅当2x=,即x=时等号成立.答案:四、解答题(共70分)17.(10分)已知集合A=x|x2-4x+30,B=x|x2.(1)分别求AB,(RB)A;(2)已知集合C=x|1x2,所以AB=x|21时,CA,则10),若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【解析】由x2-8x-200,得-2x10.由x2-2x+1-m20,得1-mx1+m(m0),所以p:x|
8、-2x10,q:x|1-mx1+m,因为q是p的充分不必要条件,所以解得0m3,所以所求实数m的取值范围是m|0m3.19.(12分)(1)若x0,求y=的最大值.【解析】(1)因为x0.又因为y=2(x-3)+7=-+7,由基本不等式可得2(3-x)+2=2,当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立,于是-2,-+77-2,故y的最大值是7-2.(2)y=.因为x0,所以x+2=2,所以00,且xy,因为-=0,所以,所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.22.(12分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,ABAD,矩形的周长为 8 cm.(1)设AB=x cm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围;(2)计划在ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽.【解析】(1)由题意可得AD=4-x,且x4-x0,可得2x4,CE=AE=x-DE,在直角三角形ADE中,可得AE2=AD2+DE2,即(x-DE)2=(4-x)2+DE2,化简可得DE=4-(2x4).(2)SADE=ADDE=(4-x)=22=12-8,当且仅当x=2,4-x=4-2,即队徽的长和宽分别为2 cm,(4-2)cm时,ADE的面积取得最大值.
