1、北京市怀柔一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一选择题(满分50分)1. 直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为0，求出倾斜角即可.【详解】由题意，的斜率为0，倾斜角为.故选：A.2. 已知直线，的斜率分别是，如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可求解.【详解】设直线，的倾斜角分别为，根据直线的倾斜角概念，可得，再由直线的斜率与倾斜角关系，可得，故故选：C.3. 椭圆的长轴的长等于（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程，可求出长轴
2、的长.【详解】椭圆中，所以长轴的长.故选：D.4. 两条平行线与之间的距离为（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，两条平行线：与：根据两平行线间的距离公式，可得.故选：A.5. 已知直线与互相垂直，则（ ）A. B. C. 3D. 1【答案】D【解析】【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为即可得解【详解】直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，解得.故选：D【点睛】两直线垂直得到斜率乘积为是解题关键.属于基础题.6. 两圆：和圆：的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内含【答案】B【解析】【分析】分
3、别求出两圆的圆心和半径，进而求出圆心距，根据圆心距满足，可判断出两圆的位置关系.【详解】圆的标准方程是，圆心是，半径是，圆的标准方程是，圆心是，半径是，所以两个圆心的距离是，所以，即，所以圆与圆相交.故选：B.7. 直线：，：，若，则（ ）A. -3B. 2C. -3或2D. 3或-2【答案】A【解析】【分析】由直线平行得出，解出即可.【详解】，解得.故选：A.【点睛】易错点睛：已知直线平行求参数问题时，有两个地方容易出错，（1）需要考查两条直线或的系数有无同时为0的可能；（2）注意求出的参数是否可能使两直线重合.8. 设点是直线上动点，为原点，则的最小值是（ ）A. 1B. C. 2D. 【
4、答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线的距离，即为的最小值.【详解】原点到直线的距离为，故最小值为.故选：B.9. 已知点P（a，b）（ab0）是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么（ ）A. ml，且l与圆相交B. ml，且l与圆相切C. ml，且l与圆相离D. ml，且l与圆相离【答案】C【解析】【分析】求出直线m的斜率，可判断两直线的位置关系，求出圆心到直线l的距离，可判断直线l与圆的位置关系【详解】点P(a，b)（ab0)在圆内，a2b2r2.圆x2y2r2的圆心为O(0,0），故由题意得OPm.又kOP，
5、km，直线l的斜率为klkm，圆心O到直线l的距离d，ml，且l与圆相离，故选：C.【点睛】本题考查直线间的位置关系，直线与圆的位置关系两条直线的斜率（存在斜率时）相等，且不重合，则平行，斜率不相等，则相交；圆心到直线的距离为d，圆半径为r，则：相离，相切，相交10. 与圆相切且在轴轴上截距相等的直线共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】【分析】先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】圆的方程，可化为：，所以其圆心是，半径为，当直线在轴轴上的截距为0时，设直线方程为：，因为直线
6、与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以，解得，当直线在轴轴上的截距不为0时，设直线方程为：，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以，解得或（舍去）所以在轴轴上截距相等的直线共有3条，故选：C二填空题(满分30分)11. 已知直线经过两点，则直线的斜率为_.【答案】3【解析】【分析】直接利用斜率公式求解.【详解】因为直线经过两点，所以,所以直线的斜率为3故答案为：312. 已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是_.【答案】【解析】【分析】由题可得，则得，即.【详解】，.故答案为：.13. 圆心为，且与轴相切的圆的方程是_.【答案】【解析】【分析】求出圆心到
7、到轴的距离后可得圆的方程.【详解】与轴相切的圆,圆心到轴的距离就是圆的半径，所以,圆的方程为：故答案为：【点睛】当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径.14. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，并且该椭圆上一点到点，的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】由，可求出，由焦点坐标可得到的值，进而结合，可求出，即可得到椭圆的方程.【详解】设椭圆的方程为，因为，所以，即，又，所以，所以椭圆方程为.故答案为：.15. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先将方程转化为，再根据方程表示圆求解.【详解】方程可化为：，因为方程表示圆，所以 ，解得
8、，故答案为：16. 已知点，直线：上存在点，满足，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由，可知点在以为直径的圆上，可求出该圆的方程，又点在直线上，只需圆与直线有公共点即可，即可列出关系式，求出的取值范围.【详解】因为，所以点在以为直径圆上，该圆的圆心为，半径为2，圆的方程为，又因为点在直线上，所以点在直线和圆的交点处，若点存，则，即，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是根据，得出点在以为直径的圆上，结合点在直线上，只需圆与直线有公共点即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.三解答题(满分70分)17. 如图，在棱长为2的正方
9、体中，为的中点.（1）求的长；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以，的正方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算，即可求解；（2）由（1）中的坐标系，得到，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）以，的正方向分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系，则，可得，所以的长为.（2）由（1）的坐标系，可得，所以，设异面直线与所成的角为，所以，即异面直线与所成的角的余弦值.（3）由（1）中的坐标系，可得，则，
10、设平面的法向量为，由，得，令，得，又由，设直线与平面所成的角为，可得.即直线与平面所成的角的正弦值.【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.18. 已知圆：.（1）写出该圆的圆心坐标和半径；（2）倾斜角为的直线与圆相切，求切线的方程；（3）过点作直线，被圆截下的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）圆心，半径为2；（2），；（
11、3）.【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程直接写出圆心坐标和半径；（2）设直线的方程利用圆心到直线的距离等于半径得解；（3）设点斜式方程，求得圆心到直线的距离，利用勾股定理得解.【详解】（1）圆心，半径为2.（2）设方程：，即，因为与圆的相切，所以，切线方程：，.（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，：被圆：截得弦长为，不合题意.所以直线的斜率存在，可设直线：，圆心到直线的距离，又，直线方程：.【点睛】利用圆心到直线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法.属于基础题.19. 如图，四棱锥中，平面平面，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明
12、见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质推导出平面，进而可证得；（2）取的中点，连接、，证明出平面，然后以点为坐标原点，、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；（3）利用空间向量法可计算出点到平面的距离.【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以；（2）取的中点，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，平面，以、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，、，设平面的法向量为，由，得，令，得，因为平面的一个法向量为，则.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；（3）设点到平面的距离为，
13、平面的法向量为，所以.【点睛】求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量、的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.20. 已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率.（2）已知点是椭圆的左顶点，过点作斜率为1的直线，求直线与椭圆的另一个交点的坐标.（3）已知点，是椭圆上的动点，求的最大值及相应点的坐标.【答案】（1）；（2）；（3）取最大值，此时点的坐标是.【解析】【分析】（1）由方程直接求出，即可求出离心率；（2）可得直线方程为，联立直线与椭圆方程即可求出交点坐标；（3）设，利用距离公式与椭圆的有界性即可求出.【详解】（1）因为，所以，所以椭圆的离心率.（2），直线的方程为：，联立方程组，消去整理得：，解得，所以点的坐标为.（3）设，因为是椭圆上的动点，所以，因为，所以，因为，所以当时，取最大值，此时点的坐标是.【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的交点坐标，可直接联立方程求解，第三问求椭圆上的点到定点的距离最值，解题的关键是正确表示距离，利用椭圆的有界性求解.
