1、高考资源网（） 您身边的高考专家导数的应用（2）【考点导读】1 深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2 利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。【基础练习】1若是在内的可导的偶函数，且不恒为零，则关于下列说法正确的是（4） 。（1）必定是内的偶函数 （2）必定是内的奇函数（3）必定是内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数 2是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（4） 。 （1） （2） （3） （4）3若，曲线与直线在上的不同交点的个数有 至多1个 。
2、 4把长为的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 ，宽为 。5在边长为的正方形的四角切去边长相等的小正方形，在把它的边沿虚线折起，作成一个无盖的方底铁皮箱，当箱底边长为时，箱子容积最大，最大值为。【范例导析】例1函数，过曲线上的点的切线方程为（1）若在时有极值，求f (x)的表达式；（2）在（1）的条件下，求在上最大值；（3）若函数在区间上单调递增，求b的取值范围解：（1） （2）x2+00+极大极小 上最大值为13 （3）上单调递增 又 依题意上恒成立.在在 在综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b0。 点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例
3、2请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设的长度会比较简便。 解：设,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。帐篷的体积为（单位：m3）：求导数，得；令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，
4、加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。例3设函数分别在处取得极小值、极大值。在平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。求： (I)求点的坐标； (II)求动点的轨迹方程.解： ()令解得；当时,， 当时,，当时，。所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,又。所以, 点A、B的坐标为。（） 设，又，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。备用题1已知函数f(x)=x+ x，数列的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过（0，0）
5、和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）。求证：当n时，()x（）。证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以.（II）因为函数在时单调递增，而，所以，即因此又因为 令则因为所以因此 故点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。备用题2已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大
6、值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即【反馈演练】1设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 图4 。yxOyxOyxOyxO图1图2图3图42已知对任意实数，有，且时，则时，与0的大小关系是 。3已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为 。4若，则下列命题正确的是 （3） .（1）（2）（3）(4)5已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是 （3） .(1)0是的极大值，也
7、是的极大值 (2)0是的极小值，也是的极小值（3）0是的极大值，但不是的极值 （4）0是的极小值，但不是的极值6函数的单调递增区间是7在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当它的面积最大时，底边上高为。8设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集为。9已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为（）求函数y=f(x)的解析式； （）求函数y=f(x)的单调区间解：（）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以 由在M(-1,f(-1)处的切线方程是， 知故所求的解析式是 （） 解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数点评：本题考查函数的单调性、
8、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力10如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得所以，其定义域为（II）记， 则令，得因为当时，；当时，所以在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为11设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围解：（），
9、当时，取最小值，即（）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力12设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于解：（），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故的极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而有的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别式方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为：。 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 ) 版权所有高考资源网
