1、课时训练2余弦定理一、利用余弦定理解三角形1.在ABC中,a=1,B=60,c=2,则b等于()A.1B.2C.3D.3答案:C解析:b2=a2+c2-2accosB=1+4-21212=3,故b=3.2.在ABC中,c2-a2-b2=3ab,则角C为()A.60B.45或135C.150D.30答案:C解析:cosC=a2+b2-c22ab=-3ab2ab=-32,C=150.3.在ABC中,已知sin Asin Bsin C=357,则此三角形的最大内角的度数等于.答案:120解析:由正弦定理可得abc=357,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,角C最大.cosC=a2+b2-c2
2、2ab=32+52-72235=-12.0C180,C=120.4.(2015河南郑州高二期末,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=3sin C,B=30,b=2,则边c=.答案:2解析:在ABC中,sinA=3sinC,a=3c.又B=30,由余弦定理,得cosB=cos30=32=a2+c2-b22ac=4c2-423c2,解得c=2.二、判断三角形形状5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2A2,则ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案:A解析:b+c=2ccos2A2,且2cos2A2
3、=1+cosA,b+c=c(1+cosA),即b=ccosA.由余弦定理得b=cb2+c2-a22bc,化简得a2+b2=c2,ABC是直角三角形.6.在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定答案:A解析:由sin2A+sin2Bsin2C,得a2+b2c2,所以cosC=a2+b2-c22ab0,所以C为钝角,即ABC为钝角三角形.7.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcos C,试判断ABC的形状.解法一:cosC=a2+b2-c22ab,代入a=2bcosC,得a=2ba2+b2-c
4、22ab,a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.b=c.ABC为等腰三角形.解法二:根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R,得a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知条件得2RsinA=4RsinBcosC,即sinA=2sinBcosC,A=-(B+C),sinA=sin(B+C).sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.sinBcosC-cosBsinC=0.sin(B-C)=0.又-B-C0),由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=4k2+9k2-16k222k3k=-14,故选D.3.在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若
5、C=120,c=2a,则()A.abB.a0,a2b2,ab.4.ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BABC的值为()A.19B.14C.-18D.-19答案:A解析:cosB=72+52-62275=1935,BABC=|BA|BC|cosB=751935=19.5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)sin2B+sin2C,则角A的取值范围为()A.0,2B.4,2C.6,3D.3,2答案:D解析:由题意得sin2Asin2B+sin2C,再由正弦定理得a20,则cosA=b2+c2-a22bc0,0A,0A
6、3.因此得角A的取值范围是3,2.6.已知在ABC中,2B=A+C,b2=ac,则ABC的形状为.答案:等边三角形解析:2B=A+C,又A+B+C=180,B=60.又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos60=a2+c2-ac,有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,a=c,故ABC为等边三角形.7.(2015北京高考,12)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案:1解析:在ABC中,由正弦定理知,sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2cosAac=2cosA46=43cosA,再根据余弦定理,得co
7、sA=36+25-16265=34,所以sin2AsinC=4334=1.8.在ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值为.答案:612解析:由余弦定理得bccosA+accosB+abcosC=b2+c2-a22+a2+c2-b22+a2+b2-c22=a2+b2+c22=32+42+622=612.9.在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判定ABC的形状.解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,得(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab.cos
8、C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.0C180,C=60.A+B+C=180,sinC=sin(A+B).又2cosAsinB=sinC,2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=0.A,B均为ABC的内角,A=B.因此ABC为等边三角形.10.在ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=34,求b.解:由正弦定理得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cosA,ca=32.又a+c=10,a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+2012b=34,b=4或b=5.当b=4时,a=4,A=B.又C=2A,且A+B+C=,A=4,与已知cosA=34矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,b=5.
