1、无锡市堰桥高级中学2020-2021学年第二学期期中考试高一数学一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、向量，且，则实数（ ） A、3 B、-3C、7D、-72、在中，分别为的对边，其面积为，则（ ） A、B、 C、D、3、已知是关于的方程的根，则实数（ ） A、B、C、D、4、已知单位向量满足，则的夹角为（ ） A、B、C、D、5、如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（ ） A、B、C、D、6、中国气象局规定：一天24小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通常用mm1mm的降水量是指单位面积上水深1mm如图，这是个雨量筒，其下部是直径为20cm，高60cm的圆柱，上部承水口的
2、直径为30cm，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深40cm，则该同学测得的降水量约为（） A、17.8mm B、178mm C、26.7mmD、267mm7、设复数满足，且，则可以是（）A、 B、 C、 D、8、我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中,若，则（） A、 B、 C、 D、二、多选题（本大题共4小题，共20分，答对给5分，答错给0分，漏选给2分）9、设平面向量均为非零向量，则下列命题正确的是（） A、 B、 C、 D、10
3、、下列关于的结论中，正确的是（） A、若，则为锐角三角形 B、若，则为钝角三角形 C、若，则 D、若，则11、复数，为的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ） A、对应的点在复平面的第二象限B、 C、的实部为 D、的虚部为12、下列命题正确的是（） A、 B、 C、一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行 D、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线三、填空题（本大题共4小题，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分）13、已知水平放置的按“斜二测画法”得到直观图，则原的面积为_14、如图，菱形的边长为2，为的中点，则_ 15、要
4、算某湖泊岸边两点B与C的距离，受地形限制，需要在岸上选取A和D两点，现测，则两景点B与C的距离为_km16、已知正方体的体积为27，点，分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则正方体的外接球表面积为_，线段的取值范围为_.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（10分）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数的模.18、（12分）已知三个点.（1）求证：；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值19、（12分）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别的中点，（1）求证：（2）求证： 20
5、、（12分）在中，分别为的对边，且.（1）求角； （2）若边长，求周长的最大值.21、 （12分）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，分别是的中点（1）求证：；（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，？22、（12分）如图，在边长为的菱形中，是线段上一点，且满足，设（1）用表示（2）在线段上是否存在一点满足？若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由答案解析1、【答案】B【解答】解：，则，故选B2、【答案】D【解答】解：，这个三角形的面积为，即，故选D3、B4、5、【答案】C【解析】解：是体积为1的棱柱，四棱锥的体积：故选：C6、选B7、 C8、 C9、CD10、【答案】BD【解答
6、】解：对于A，由，根据余弦定理可得，所以C为锐角，但不确定，所以不一定为锐角三角形，故A不正确；对于B，由，根据余弦定理可得，所以为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；对于C，由，可得，由正弦定理可得，故C不正确；对于D，由，可得，由正弦定理可得：，所以，故D正确故选BD11、解：，对应点为在第三象限，实部为，虚部为，选项B，C正确，选项AD错误故选BC12、【答案】BCD【解析】【分析】本题考查直线与平面，平面与平面，直线与直线的位置关系的判定，逐一判断即可求解【解答】解：平面平面，一条直线a 平行于平面，则a 可能在平面内，故A错误；B.平面平面，则内的任意一条直线都平行与平面，故B正确；C
7、.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，由面面平行的判定知，三角形所在的平面与这个平面平行，故C正确；D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，故D正确故选BCD13、【答案】2【解答】解：根据“斜二测画法”原理，还原出，如图所示；由，原的面积为14、【答案】4【解答】解：方法一：建立平面直角坐标系，如下图所示，菱形ABCD的边长为2，M为DC的中点，线段CD中点M坐标为，则，故答案为4方法二：连接BM，四边形ABCD为菱形，且M为CD中点，中，由余弦定理可得，即，即，又菱形ABCD中，则，故答案为415、【答案】【解答】解：，在中，由余弦定理得，即，解得负值舍去，在中
8、，由正弦定理得，则故答案为16、17、 （1）【答案】解：(1)由已知得，是纯虚数，且，则，从而，（2）(2)由（1）知，【解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是中档题把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件即可求出复数z及；利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案18、【答案】证明：，即，解：，四边形ABCD为矩形，设点C的坐标为，则又，解得点C的坐标为，设与的夹角为，则故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为19、【答案】（1）证明：取PD的中点F，连接AF，FN，在PCD中，易得FN/DC，在平行四边形 ABCD
9、中，由题意得AM/CD，所以AM/FN，AMFN，所以四边形AFNM为平行四边形，则AF/NM，因为AF平面PAD，MN平面PAD， 所以MN/ 平面PAD；（2）证明：因为BC/AD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC/ 平面PAD， 又平面PAD平面PBCl，BC平面PBC，所以BC/l【解析】本题以四棱锥为载体，考查线线平行，线面平行，证题的关键是合理运用线面平行的判定及性质定理，属于中档题（1）要证明MN平面PAD关键是在平面PAD中找出直线与MN平行，由于M、N分别是AB、PC的中点，故可利用取中点的方法求解；（2）证明面面平行，可通过证明线面平行HN/ 平面ABCD，同理KH
10、/ 平面ABCD即可得到结果；（3）根据BCAD，可以知道BC平面PAD，由于平面PBC平面PAD=l，可以证得BCl.20、【答案】解：（），由正弦定理得，即，在中，,；（）由余弦定理可得：，即，当且仅当时取等号，周长的最大值为6+3=9.21、 【答案】证明：（1）连结BM，BE=EC，CF=FM，EFBM，又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，EF平面BDD1B1;解：（2）G是DC中点，使得平面GEF平面BDD1B1，【答案】解：(1)根据题意得:,.(2)设,则,因为在边长为1的菱形ABCD中,为使,则，即，解得,从而,此时，如图：.综上所述，满足题意的点F存在，,且此时.【解析】本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算,属于中档题.（1）根据题意可知，求得，从而即可得到的值.（2）根据题意设，求得关于，的表达式，为使,则，利用数量积的运算得到关于t的方程，求得t的值，看是否在0,1的范围内即可，然后确定F的位置，并利用向量的模的求法得到|的值.22、 解：(1)根据题意得:,.(2)设,则,因为在边长为1的菱形ABCD中,为使,则，即，解得,从而,此时，如图：.综上所述，满足题意的点F存在，,且此时.
