1、淄博实验中学高三年级假期学习效果检测试题数学（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1.已知集合AxN|x3，Bx|x2+6x160，则AB（）A. x|8x2B. 0，1C. 1D. 0，1，2【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，求出AB即可【详解】集合AxN|x30，1，2，3，Bx|x2+6x160x|8x2，AB0，1故选B【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2.已知为虚数单位，则复数的模为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由复数除法运算法则，求出，再
2、由模长公式即可求解【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数运算、模长，属于基础题.3.已知向量的夹角为，且，则( )A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】向量的夹角为，且，又，故选B.4.下列说法正确的是( )A. 若命题均真命题，则命题为真命题B. “若，则”的否命题是“若”C. 在，“”是“”的充要条件D. 命题“”的否定为“”【答案】D【解析】【分析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项的正误即可【详解】对于A：若命题p，q均为真命题，则q是假命题，所以命题pq为假命题，所以A不正确；对于B：“若，则”的否命题是“若，则”，所以B不正确；对于C
3、：在ABC中， “”“A+B=”“A=-B”sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，C=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，所以C不正确；对于D：命题p：“x0R，x02-x0-50”的否定为p：“xR，x2-x-50”，所以D正确故选D【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命题的否定等知识，是基本知识的考查5.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意知原
4、图是一个直三棱柱，躺在平面上，上下底面是等腰直角三角形，则表面积由五个面构成，表面积为： 故答案为C .6.已知定义在上的奇函数满足，且当时，则（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x0，1时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1【详解】是定义在R上的奇函数，且；的周期为4；时，；由奇函数性质可得；时，；.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶
5、性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】B【解析】试题分析：由题意得，若输入，；则第一次不满足条件，则；第二次不满足条件，则；第二次不满足条件，则；此时满足条件，输出，故选B考点：程序框图8.为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C. 向左平移个单位长度，再把所得各点
6、的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【详解】把函数 的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得 的图象；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变，可得函数的图象，故选D【点睛】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题9.已知函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】令，求出定点，代入直线方程可得，利用基本不等式，即可求解.【详解】函数
7、的图象恒过定点,点A在直线上，当且仅当时，等号成立.故选:B【点睛】本题考查函数过定点、基本不等式求最值，拼凑积为定值是解题关键，属于基础题.10.如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【详解】A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），正方体的ABCD的面积S224，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S21dx2（x3）2（1）02，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域
8、的概率是故选B【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由g（x）0得f（x）ex+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【详解】由g（x）0得f（x）ex+a，作出函数f（x）和yex+a的图象如图：当直线yex+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，将直线yex+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线yex+a与函数f（x）图像有三个交点
9、，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是，故选C【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】，得到|，=，又，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，=，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考
10、查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数满足约束条件则的最大值为_【答案】1【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】由z=x-2y得 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，的截距最小，此时z最大，由 ，得A（1，0）代入目标函数z=x-2y，得z=1-20=1，故答案为1【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法14.设数列的前项和为，且，则_【答案】66【解析】试题解析：依题
11、，与原式作差得，即，可见，数列从第二项起是公比为3的等比数列，所以故答案为66考点：1数列的求和；2等比数列15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数_【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，所以，故填：16.已知a，bR，e为自然对数的底数若存在b3e，e2，使得函数exaxb在1，3上存在零点，则a的取值范围为_【答案】【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.详解:由题得存在，使得函数在上存在零点，所以存在,使得,所以,令直线y=ax+b,
12、则两个函数的图像存在一个交点，当直线y=ax+b过点（1，e）,(0,-3e)时，此时a最大，此时b=-3e,a=4e，所以a4e.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知函数，其中（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分
13、别为，且，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简为的形式，将代入中，解出的范围，由此求得函数的单调区间.（2）利用求得角的大小，利用余弦定理和列方程组，解方程组求得的值，由此求得三角形的面积.【详解】（1）=，令解得，kZ，函数y=f（x）的单调递增区间是（kZ）（2）f（A）=2，即，又0A， ，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=7，b=2c，由得， 【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查利用余弦定理解三角形.属于中档题.18.如图1，在平行四边形中，
14、以对角线为折痕把折起，使点到图2所示点的位置，使得. （）求证:平面平面；()求二面角的余弦值.【答案】（）见解析； （）.【解析】【分析】（）在图1中，求解三角形可得ABBD，同理CDBD，图2中，在PAD中，求解三角形可得ADPD，结合PDBD，得到PD平面ABD，进一步得到PDAB，又ABBD，可得AB平面PBD，由面面垂直的判定可得平面PAB平面PBD；（）以D为坐标原点，分别以DB，DP所在直线为y，z轴，过点D在平面ABD内平行于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D的余弦值【详解】（）图1中，
15、由余弦定理得，即，同理.图2中，在中，即又，平面.平面，又.平面，平面，平面平面. ()如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点在平面内平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量为由 得 令，得平面的一个法向量为同理可得平面一个法向量.又二面角的平面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为,离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）过 的直线与椭圆交于不同的两点,则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及
16、直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）； （2）的面积取得最大值3, .【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合题意求解椭圆方程即可；（2）很明显直线的斜率不为零，设出直线方程的x轴截距形式，得到面积函数，结合函数的性质确定面积最大时的直线方程即可.【详解】（1）设椭圆：因为， 所以 即椭圆： . （2）设，不妨设 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，则 ，令，可知则，令，则，当时，即在区间上单调递增，即当时，的面积取得最大值3，此时直线的方程为【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与
17、椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题20.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男
18、生选考方案确定的有8人884211选考方案待确定的有6人430100女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人541001（1）估计该学校高一年级选考方案确定学生中选考生物的学生有多少人？（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望【答案】（1）140；（2）；（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）求出30人中选考方案确定的学生中选考生物的概率，即可估计出结果；（2
19、）分别求出选考方案确定的8位男生中和10名女生中各选出1人选考方案中含有历史学科的概率，按相互独立同时发生的概率关系，即可求解；（3）根据数据，求出选考方案确定的男生的选考科目情况，的取值为1，2，求出概率，得到分布列，即可求出结论.【详解】（1）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人（2）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为
20、（3）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治由已知得的取值为1，2，或所以的分布列为12所以【点睛】本题考查相互独立同时发生的概率、离散型随机变量的分布列期望，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，证明.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，根据导数可得函数的最小值为，从而可得结论成立；（2）由条件得，令，则然后分为和两种情况进行讨论，可得所求范围（3）由（2）得当，时，故要证不等式成立
21、，只需证，只需证明，只需证 ，然后构造函数并利用函数的单调性可得结论成立【详解】（1）当时，当时，；当时，故上单调递减，在上单调递增，. （2）由条件得，令，则.当时，在上，单调递增，即，在上为增函数，时满足条件. 当时，令，解得，在上，单调递减，当时，有，即 ，在上为减函数，不合题意. 综上实数的取值范围为（3）由（2）得，当，时，即，要证不等式，只需证明，只需证明，只需证 ，设，则，当时，恒成立，故在上单调递增，又，恒成立原不等式成立【点睛】（1）解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，通过分离参数转化为求函数的最值的问题求解；若参数无法分离，则采用参数讨论的方法求解，通过逐步排除的方法达到
22、求解的目的（2）证明不等式的常用方法是构造函数法，然后转化为求函数的最值的问题求解有时也可通过放缩的方法进行证明，即若证，则可通过证明，且，以达到证明的目的请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系直线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，与轴交于点，求【答案】（1）：，直线：；（2）1【解析】【分析】（1）由曲线C的参数方程，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标
23、方程；直线l的极坐标方程转化为cos+sin2，由此能求出直线l的直角坐标方程（2）联立，求出M，N的坐标，在直线l：x+y20中，令y0，得P（2，0），由此能求出|PM|PN|【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为，即，曲线的极坐标方程为直线的极坐标方程为，即，直线的直角坐标方程为（2）联立，得或，可设，在直线中，令，得，【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题选修45：不等式选讲23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值的意义，对分三种情况讨论，去掉函数中的绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）由（1）得出函数的最小值，若恒成立，等价于，根据一元二次不等式的解法，解不等式可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当，当，当，综上所述（2）易得，若，恒成立，则只需 ，综上所述.
