1、考点规范练33数系的扩充与复数的引入一、基础巩固1.(2020全国,文2)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i2.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.43.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=14.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=25.已知复数z满足iz=i+z,则z=()A.-12+12iB.-12-12iC.12-12iD.
2、12+12i6.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z1+z2z1-z2=()A.-1-iB.1+iC.1-iD.-1+i7.若复数z=1+ia-i(i是虚数单位,aR)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i8.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.(多选)已知复数z=-12+32i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是()A.z2=0B.z2=zC.z3=1D.|z|=110.已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.11.
3、如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z2z1=.二、综合应用12.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i13.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是()A.点P0的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2214.已知复数z=3+i(1-3i)2,z是z的共轭复数,则zz=.15.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(
4、2,-2),则z在复平面内对应的点位于第象限.16.(2020全国,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos +(+3sin )i(m,R),且z1=z2,则的取值范围是.三、探究创新18.据记载,欧拉公式eix=cos x+isinx(xR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=时,得到一个令人着迷的优美恒等式ei+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率,虚数单位i,自然数的单位1和零)联系到了一起,有些数学家评价它
5、是“最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=e34i的共轭复数为z,则z=()A.-22-22iB.-22+22iC.22+22iD.22-22i19.在复平面内,复数z=a+bi(a,bR)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为,则z=r(cos +isin),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2),由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=r(cos +isin)n=rn(cos n+isinn),则(-1+3i)
6、10=()A.1 024-1 0243iB.-1 024+1 0243iC.512-5123iD.-512+5123i考点规范练33数系的扩充与复数的引入1.A(1-i)4=(1-i)22=(-2i)2=-4.故选A.2.D由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.3.C设z=x+yi(x,yR).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.4.Dz=1-i,|z|=1+1=2,故选D.5.Ciz=i+z,(1-i)z=-i,即z=-i1-i=-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12-12i.故选C.6.
7、Cz1=-1+3i,z2=1+i,z1+z2z1-z2=-1+3i+1+i-1+3i-1-i=4i-2+2i=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2i(-1-i)2=1-i.故选C.7.Az=1+ia-i=(1+i)(a+i)(a-i)(a+i)=a-1+(a+1)ia2+1.因为z是纯虚数,所以a-1=0,a+10,解得a=1,所以z的虚部为1+112+1=1,故选A.8.Bz1=2+2i,z2=1-3i,z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i,复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标
8、为-125,45,位于第二象限.故选B.9.BCD由于复数z=-12+32i(其中i为虚数单位),即z2=14-32i-34=-12-32i,故A错误;则z2=z,故B正确;z3=-12-32i-12+32i=14+34=1,故C正确;|z|=14+34=1,故D正确.10.52由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.11.-1-2i由题意,得z1=i,z2=2-i,故z2z1=2-ii=(2-i)(-i)i(-i)=-1-2i.12.C由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i
9、5-1=i,故选C.13.ACD复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,yR),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,整理得,y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为|1-2|2=22,故D正确.14.14z=3+i(1-3i)2=3+i-2-23i=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2(1+3i)(1-
10、3i)=23-2i-8=-34+14i,z=-34-14i,zz=-34+14i-34-14i=316+116=14.15.四设z=x+yi(x,yR),则2-3i1+2i+x+yi=2-2i,即(2-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)+x+yi=2-2i,-45+x+y-75i=2-2i,所以x-45=2,y-75=-2,解得x=145,y=-35,即z=145-35i,其对应点为145,-35,在第四象限.16.23设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).|z1|=|z2|=2,a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3
11、,b+d=1,(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=23.17.-916,7由复数相等的充要条件可得m=2cos,4-m2=+3sin,化简,得4-4cos2=+3sin,由此可得=-4cos2-3sin+4=-4(1-sin2)-3sin+4=4sin2-3sin=4sin-382-916,因为sin-1,1,所以4sin2-3sin-916,7.故的取值范围为-916,7.18.A欧拉公式eix=cosx+isinx(xR),则z=e34i=cos34+isin34=-22+22i,根据共轭复数定义可知z=-22-22i,故选A.19.D(-1+3i)10=2cos23+sin23i10=210cos203+sin203i=210-12+32i=-512+5123i.
