1、考点规范练20三角函数的图象与性质一、基础巩固1.下列函数是周期为的奇函数的是()A.y=sin xcosxB.y=sin2xC.y=tan 2xD.y=sin 2x+cos 2x答案:A解析:y=sinxcosx=12sin2x是周期为的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为2;y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数,故选A.2.已知函数f(x)=2sin(x+)对任意x都有f6+x=f6-x,则f6等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0答案:B解析:由f6+x=f6-x知,函数图象关于直线x=6对称,f6是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.3.已知函数f(x
2、)=sinx+4(0)的最小正周期为,则函数f(x)的图象()A.关于直线x=4对称B.关于直线x=8对称C.关于点4,0对称D.关于点8,0对称答案:B解析:函数f(x)的最小正周期为,2=,=2,f(x)=sin2x+4.则由2x+4=k+2(kZ),可得函数f(x)图象的对称轴方程为x=8+k2(kZ);函数f(x)图象的对称中心的横坐标满足2x+4=k(kZ),即x=-8+k2(kZ).故函数f(x)的图象关于直线x=8对称,故选B.4.已知直线y=m(0m0)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则等于()A.3B.4C.2D.6答案:A解析:由题意,
3、得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1=1+52=3,x2=5+72=6,故函数的周期为2(6-3)=2,得=3,故选A.5.函数y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是()A.2+4B.C.2D.2+1答案:A解析:因为y=cos(x+1)的周期是2,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是2+4,故选A.6.(多选)若函数f(x)=2sin(2x+)(R)图象的一条对称轴方程为x=6,则可能的取值为()A.-3B.-56C.23D.6答案:BD解析:因为函数f(x)=2sin(2x+)(R)图象的一条对称轴方程为
4、x=6,所以26+=2+k(kZ),解得=6+k(kZ),所以当k=0时,=6;当k=1时,=76;当k=-1时,=-56.7.已知曲线f(x)=sin 2x+3cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x00,2,则x0等于()A.12B.6C.3D.512答案:C解析:由题意可知f(x)=2sin2x+3,其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+3=k(kZ),即x0=-6+k2(kZ).又x00,2,故k=1,x0=3,故选C.8.(2021广东珠海高三质检)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数),相邻两个零点的差为-2,且对任意x,f(x)f23恒成立,则下列结论
5、正确的是()A.f(2)f(-2)f(0)B.f(0)f(2)f(-2)C.f(-2)f(0)f(2)D.f(2)f(0)0,f(2)=Asin4+60,由于326-4+2562,而正弦函数在区间2,32内单调递减,故f(2)f(-2)f(0).9.(2021福建厦门三模)已知f(x)=sin(2x+)(0)是偶函数,则f6=.答案:12解析:因为f(x)=sin(2x+)(0)是偶函数,所以=2+k,kZ,而00,|2的最小正周期为4,且f3=1,则f(x)图象的对称中心是.答案:2k-23,0(kZ)解析:由题意得2=4,解得=12,故f(x)=sin12x+.由f3=1,可得123+=2
6、k+2(kZ),由|0,在函数y=2sin x与y=2cos x的图象的交点中,距离最近的两个交点的距离为23,则=.答案:2解析:如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2sinx与y=2cosx的大致图象.A,B为符合条件的两个交点.则A4,2,B-34,-2.由|AB|=23,得2+(22)2=23,解得=2,即=2.二、综合应用12.若函数f(x)=cos(2x+)的图象的一条对称轴方程为x=1312,且-22,则函数y=f(x+3)为()A.奇函数,且在区间0,4内单调递增B.偶函数,且在区间0,2内单调递增C.偶函数,且在区间0,2内单调递减D.奇函数,且在区间0,4内单调递
7、减答案:D解析:因为函数f(x)=cos(2x+)的图象的一条对称轴方程为x=1312,所以136+=k(kZ),即=k-136(kZ).又-22,则=-6,于是y=fx+3=cos2(x+3)-6=cos2x+2=-sin2x,所以该函数为奇函数,且在区间0,4内单调递减,故选D.13.(多选)(2021河北保定高三期末)定义在R上的函数f(x)=sin(2x+)-22,则f(x)在区间-6,0内单调递增的充分条件可以是()A.=6B.f(x)的图象关于直线x=12对称C.f(x)的图象关于点3,0对称D.f(x)的图象关于直线x=512对称答案:ABC解析:对于A,当=6时,f(x)=si
8、n2x+6,由-2+2k2x+62+2k,kZ,得-3+kx6+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为-3+k,6+k,kZ,因为-6,0-3+k,6+k,kZ,所以f(x)在区间-6,0内单调递增,故A正确;对于B,由f(x)的图象关于直线x=12对称,得212+=2+k,kZ,所以=3+k,kZ,又-22,所以=3,得f(x)=sin2x+3,由-2+2k2x+32+2k,kZ,得-512+kx12+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为-512+k,12+k,kZ,因为-6,0-512+k,12+k,kZ,所以f(x)在区间-6,0内单调递增,故B正确;对于C,由f(x)的图象关于点3,
9、0对称,得23+=k,kZ,所以=-23+k,kZ,又-22,所以=3,得f(x)=sin2x+3,由B知f(x)在区间-6,0内单调递增,故C正确;对于D,由f(x)的图象关于直线x=512对称,得2512+=2+k,kZ,所以=-3+k,kZ,又-20,|2,x=-4为f(x)的零点,直线x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间18,536内单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案:B解析:由题意得-4+=k1,k1Z,4+=k2+2,k2Z,解得=k1+k22+4,=2(k2-k1)+1,k1,k2Z.|2,=4或=-4.f(x)在区间18,536内单调,536-1
10、8T2(T为周期),T6,即26,12.0,00)和g(x)=3cos(2x+)的图象的对称中心完全相同,若x0,2,则f(x)的取值范围是.答案:-32,3解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则=2,即f(x)=3sin2x-6.当x0,2时,-62x-656,解得-12sin(2x-6)1,故f(x)-32,3.三、探究创新16.已知函数f(x)=sin2x+6,其中x-6,a.当a=3时,f(x)的值域是;若f(x)的值域是-12,1,则a的取值范围是.答案:-12,16,2解析:若-6x3,则-62x+656,此时-12sin2x+61,即f(x)的值域是
11、-12,1.若-6xa,则-62x+62a+6.因为当2x+6=-6或2x+6=76时,sin2x+6=-12,所以要使f(x)的值域是-12,1,则22a+676,即32a,所以6a2,即a的取值范围是6,2.17.设定义在R上的函数f(x)=sin(x+)(0,-122),给出以下四个论断:f(x)的最小正周期为;f(x)在区间(-6,0)内单调递增;f(x)的图象关于点(3,0)对称;f(x)的图象关于直线x=12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出一个真命题(写成“pq”的形式).(用到的论断都用序号表示)答案:或解析:若f(x)的最小正周期为,则=2,函数f(x)=sin(2x+).同时若f(x)的图象关于直线x=12对称,则sin(212+)=1.-122,212+=2,=3,此时f(x)=sin(2x+3),成立,故.若f(x)的最小正周期为,则=2,函数f(x)=sin(2x+),同时若f(x)的图象关于点(3,0)对称,则23+=k(kZ).-122,=3,此时f(x)=sin(2x+3),成立,故.
