1、广东省梅州市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1命题“x0（0，+），x02+12x0”的否定为（）Ax（0，+），x2+12xBx（0，+），x2+12xCx（，0，x2+12xDx（，0，x2+12x2已知直线l1：mx2y+10，l2：x（m1）y10，则“m2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3若向量，且，则实数的值是（）A0B1C2D14已知圆C的圆心是直线x+y+10与直线xy10的交点，直线3x+4y110与圆C交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为（）Ax2+（y+1）
2、218BC（x+y）2+y218D5已知双曲线的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A6BCD6若函数f（x）2x+在区间0，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba2Ca2Da27一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A当x2时，V有极小值B当x2时，V有极大值C当时，V有极小值D当时，V有极大值8设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f（x）若f（x）+f（x）1，f（0）2020，则不等式exf（x）ex+2019的解集为
3、（）A（，0）B（，0）（2019，+）C（2019，+）D（0，+）二、多项选择题（共4小题）.9设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f（x），g（x），h（x）f（x）g（x），下列命题中正确的是（）A若f（x）0，g（x）0，则h（x）单调递增B若f（x）0，g（x）0，则h（x）单调递增Cf（x）0，g（x）0，则h（x）单调递减D若f（x）0，g（x）0，则h（x）单调递减10下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A设A，B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线B设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆C方程2x25x+20的两根可
4、分别作为椭圆和双曲线的离心率D双曲线与椭圆有相同的焦点11如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是（）Aa1+c1a2+c2Ba1c1a2c2Cc1a2a1c2D12关于函数，下列说法正确的是（）Ax02是f（x）的极小值点B函数yf（x）x有且只有1个零点C存在正整数k，使得f（x）kx
5、恒成立D对任意两个正实数x1，x2，且x1x2，若f（x1）f（x2），则x1+x24三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13直线l过坐标原点且与线yex相切，则l的方程为 14已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是 15如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为 米（精确到0.1米）16如图，四棱锥PABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为 四、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤.17已知点A
6、（5，1）关于x轴的对称点为B，关于原点的对称点为C（1）求过线段AB、BC的中点的直线方程；（2）在ABC中，求AC边上的高所在的直线方程18已知C：x2+y22x+4y+m0与直线x+0相切（1）求圆C的方程；（2）若圆C上两点M，N关于直线2xy+n0对称，且|MN|2，求n的值及直线MN的方程19如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设BAC（弧度），将绿化带总长度S（）表示为的函数；
7、（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大20如图，正四棱锥PABCD的高为1，底边长为2（1）求证：平面PAD平面PBC；（2）求二面角APDC的余弦值21已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x24y上的两点，满足OAOB，O是坐标原点（1）求证：x1x216；（2）若ODAB于点D，求点D的轨迹方程22为圆周率，e2.71828为自然对数的底数（）求函数f（x）的单调区间；（）求e3，3e，e，e，3，3这6个数中的最大数和最小数；（）将e3，3e，e，e，3，3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出
8、的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1命题“x0（0，+），x02+12x0”的否定为（）Ax（0，+），x2+12xBx（0，+），x2+12xCx（，0，x2+12xDx（，0，x2+12x解：根据存在性命题的否定为全称命题，则命题“x0（0，+），x02+12x0”的否定为“x（0，+），x2+12x”故选：B2已知直线l1：mx2y+10，l2：x（m1）y10，则“m2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：直线l1：mx2y+10，l2：x（m1）y10，若l1l2，则有，解得m2，故“m2”是“l1l2”的充要条件故选：C3若向
9、量，且，则实数的值是（）A0B1C2D1解：因为，所以，因为，所以1+10，解得2故选：C4已知圆C的圆心是直线x+y+10与直线xy10的交点，直线3x+4y110与圆C交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为（）Ax2+（y+1）218BC（x+y）2+y218D解：由，得，得直线x+y+10与直线xy10的交点坐标为（0，1），即圆心的坐标为（0，1），圆心C到直线AB的距离d，|AB|6，根据勾股定理得到半径r，圆的方程为x2+（y+1）218故选：A5已知双曲线的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A6BCD解：抛物线y212x的p6，开口方向向左，焦点
10、是（3，0），双曲线的c3，m2954，e故选：D6若函数f（x）2x+在区间0，+）上单调递增，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba2Ca2Da2解：根据题意，函数f（x）2x+，其导数f（x）2，若函数f（x）2x+在区间0，+）上单调递增，则f（x）20在区间0，+）上恒成立，必有a2（x+1）2，又由x0，则a2，即实数a的取值范围是a2，故选：D7一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A当x2时，V有极小值B当x2时，V有极大值C当时，V有极小值D当时，V有极大
11、值解：由题意可知0x5，则盒子的容积V（162x）（102x）x4x352x2+160x，则V12x2104x+160，令V0，解得0x2，令V0，解得2x5，所以函数V在区间（0，2）上单调递增，在（2，5）上单调递减，则当x2时，V有最大值为144故选：B8设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f（x）若f（x）+f（x）1，f（0）2020，则不等式exf（x）ex+2019的解集为（）A（，0）B（，0）（2019，+）C（2019，+）D（0，+）解：设g（x）exf（x）ex，则g（x）exf（x）+exf（x）exexf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，ex0，g（
12、x）exf（x）+f（x）10，g（x）是R上的增函数，又g（0）f（0）12019，g（x）2019的解集为（0，+），即不等式exf（x）ex+2019的解集为（0，+）故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f（x），g（x），h（x）f（x）g（x），下列命题中正确的是（）A若f（x）0，g（x）0，则h（x）单调递增B若f（x）0，g（x）0，则h（x）单调递增Cf（x）0，g（x）0，则h（x）单调递减D若f（x）0，
13、g（x）0，则h（x）单调递减解：对于f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f（x），g（x），h（x）f（x）g（x），所以h（x）f（x）g（x），当f（x）0，g（x）0时，g（x）0，故h（x）f（x）g（x）0，所以函数h（x）为单调递增函数；故B正确，当f（x）0，g（x）0时，g（x）0，故h（x）f（x）g（x）0，所以函数h（x）为单调递减函数；故C正确，对于A和D，由于f（x）0，g（x）0，和f（x）0，g（x）0，不能判定h（x）的正负，则h（x）的单调性不能确定，故A和D错误故选：BC10下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A设A，B为两个定点，k为非零常数
14、，则动点P的轨迹为双曲线B设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆C方程2x25x+20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D双曲线与椭圆有相同的焦点解：对于A，动点P的轨迹仅为双曲线的一支或为一条射线，所以A错；对于B，由知，点P弦AB中点，弦AB定长，所以弦AB中点距圆心定长，所点P的轨迹是圆，所以B错；对于C，解方程2x25x+20，得两根为2和，所以可作为椭圆离心率，2可作双曲线的离心率，所以C对；对于D，设双曲线与椭圆的半焦距分别为25+934，35134，所以 c1c2，所以D对故选：CD11如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球
15、附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，下列式子中正确的是（）Aa1+c1a2+c2Ba1c1a2c2Cc1a2a1c2D解：如图可知a1a2，c1c2，a1+c1a2+c2；A不正确，a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2；B正确a1+c2a2+c1可得（a1+c2）2（a2+c1）2，a12c12+2a1c2a22c22+2a2c1，即b12+2a
16、1c2b22+2a2c1，b1b2所以c1a2a1c2C正确；可得，D不正确故选：BC12关于函数，下列说法正确的是（）Ax02是f（x）的极小值点B函数yf（x）x有且只有1个零点C存在正整数k，使得f（x）kx恒成立D对任意两个正实数x1，x2，且x1x2，若f（x1）f（x2），则x1+x24解：对于A，因为，当0x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0；当0x2时，f（x）递减，当x2时，f（x）递增，所以A对；对于B，yf（x）x，y0，函数y在（0，+）上单调递增，又因为当x1时，y10，当xe2时，y，所以函数yf（x）x有且只有1个零点，所以B对；对于C，令g（x）f（x）kx
17、，g（x）0，18k0（k为正整数），g（x）在（0，+）上单调递减，又当x+时，g（x），所以C错；对于D，令F（t）f（t）f（4t），F（t）f（t）+f（4t），所以F（t）在（0，4）上单调递减，当t（0，2）时，F（t）F（2）0，即f（t）f（4t）0，f（t）f（4t）；任意两个正实数x1，x2，且x1x2，若f（x1）f（x2），不妨设x1x2，因为当0x2时，f（x）递减，当x2时，f（x）递增，f（x1）f（x2），所以0x12x2，f（x2）f（x1）f（4x1），则x24x1，于是x1+x24，所以D对故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13直线l过坐
18、标原点且与线yex相切，则l的方程为yex解：设切点为（x0，y0），由yex，得yex，则，曲线yex在切点处的切线方程为y，把O（0，0）代入，可得，即x01直线l的方程为yee（x1），即yex故答案为：yex14已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是解：设椭圆C的方程为，（a0，b0），椭圆左右焦点分别为F1（1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点点，|MF1|，|MF2|，2a|MF1|+|MF2|4a2，b2a2c2413，椭圆C的标准方程为故答案为：15如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为
19、12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为2.6米（精确到0.1米）解：根据题意，设抛物线的方程为x2my，（m0）|AB|16，当水面上涨2米后达到CD，|CD|12，设A（8，a），C（6，a+2），则有，解可得a，则a+2+22.6，则此时桥洞顶部距水面的高度约为2.6米，故答案：2.616如图，四棱锥PABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为解：四棱锥PABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，ACBD，PO平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，
20、0，0），C（，0，0），P（0，0，），E（，0，），D（0，0），（，0，），（，），设直线OE与直线PD所成角为，则cos，直线OE与直线PD所成角的余弦值为故答案为：四、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤.17已知点A（5，1）关于x轴的对称点为B，关于原点的对称点为C（1）求过线段AB、BC的中点的直线方程；（2）在ABC中，求AC边上的高所在的直线方程解：（1）点A（5，1）关于x轴的对称点为B（5，1），关于原点的对称点为C（5，1），故AB的中点为M（5，0），BC边的中点N（0，1），故过AB，BC边上中点的直线方程为+1，即 x5y50（2）由于AC的斜率为，故
21、AC边上高线的斜率为5，故AC边上高线所在的直线方程为 y+15（x5），即 5x+y24018已知C：x2+y22x+4y+m0与直线x+0相切（1）求圆C的方程；（2）若圆C上两点M，N关于直线2xy+n0对称，且|MN|2，求n的值及直线MN的方程解：（1）将圆C：化为圆的标准方程：，圆心坐标为，半径，圆C：与直线相切，圆心到直线的距离，解得m4，圆C的方程为（2）圆C上两点M，N关于直线对称，该直线过圆心，即，解得，由题意可知直线MN与直线垂直，则可设直线MN的方程为，半径，圆心到线MN的距离为，即，解得：直线MN的方程为19如图所示，某风景区在一个直径AB为200m的半圆形花园中设计
22、一条观光路线，在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿圆弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设BAC（弧度），将绿化带总长度S（）表示为的函数；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大解：（1）如图，连接OC，BC，在直角三角形ABC中，CAB，AB200，所以AC200cos，由于COB2CAB2，所以弧BC的长为1002200，所以S（）2200cos+200400cos+200，即S（）400cos+200，（0，）；（2）S（）200（2sin+1），当时，S（）0，当时，S（）0，当时，S（）0，
23、所以S（）在上单调递增，在上单调递减，当时，S（）有最大值，所以当时，绿化带总长度最大20如图，正四棱锥PABCD的高为1，底边长为2（1）求证：平面PAD平面PBC；（2）求二面角APDC的余弦值解：设底面ABCD的中心为O，连结OP，PABCD是正四棱锥，所以PO底面ABCD，过点O作OxCB，OyAB，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，由已知可得P（0，0，1），A（1，1，0），D（1，1，0），B（1，1，0），C（1，1，0）（1）证明：，设平面PAD的一个法向量为，则可取，设平面PBC的一个法向量为，则可取，则，所以平面PAD平面PBC（2）由（1）平面PAD的一个法向量为，设
24、平面PDC的一个法向量为，则可取，又二面角APDC为钝角，所以二面角APDC的余弦值为21已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x24y上的两点，满足OAOB，O是坐标原点（1）求证：x1x216；（2）若ODAB于点D，求点D的轨迹方程【解答】（1）证明：由题意可设AB的方程为ykx+b，b0，由可得x24kx4b0，所以x1，x2是该方程的两根，所以16k2+16b0且x1+x24k，x1x24b，OAOB，x1x2+y1y20，即，可得4（1+k）2b+4k2b+b20，b0，解得：b4此时16k2+16b0成立，x1x24b16（2）解：由（1）可得直线AB的方程为ykx
25、+4，所以直线AB过定点M（0，4），又ODAB于点D，所以点D在以OM为直径的圆上，可得点D的轨迹方程为x2+（y2）2422为圆周率，e2.71828为自然对数的底数（）求函数f（x）的单调区间；（）求e3，3e，e，e，3，3这6个数中的最大数和最小数；（）将e3，3e，e，e，3，3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x），f（x），当f（x）0，即0xe时，函数f（x）单调递增；当f（x）0，即xe时，函数f（x）单调递减故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+）（）e3，eln3eln，lneln3，即l
26、n3elne，lneln3于是根据函数ylnx，yex，yx在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3，故这六个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及（）的结论，得f（）f（3）f（e），即，由，得ln3ln3，33；由，得ln3elne3，3ee3综上，6个数中的最大数是3，最小数是3e（）由（）知，3ee33，3ee3，又由（）知，得ee，故只需比较e3与e和e与3的大小由（）知，当0xe时，f（x）f（e），即在上式中，令x，又，则ln，从而2ln，即得ln由得，elne（2）2.7（2）2.7（20.88）3.0243，即eln3，亦即lnelne3，e3e又由得，3ln66e，即3ln，e3综上可得，3ee3ee33，即6个数从小到大顺序为3e，e3，e，e，3，318
