1、第7课时函数的单调性的应用1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题.2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断.3.熟悉单调性在研究函数中的应用.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识极为密切,是高考命题的热点. 问题1:判断或证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有:(1);(2)图像法(即通过画出函数图像,观察图像,确定单调区间);(3)定义法,其过程是:作差变形判断符号,其中难点是变形.问题2:复合函数的
2、单调性的判断:复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)即有结论:“同增异减”.问题3:单调函数经运算后,所得函数单调性的规律:若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)在公共定义域上为函数;若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为函数;若f(x)0,且f(x)为增函数,则为函数,为函数.问题4:(一) 函数最大值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2).那么,称M是函数y=f(x)的最大值
3、.函数最大值的几何意义:函数图像上的纵坐标.(二)函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1);(2).那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图像上的纵坐标.1.若函数y=mx+b在(-,+)上是增函数,那么().A.b0B.b0D.m02.已知函数f(x)=8+2x-x2,则().A.f(x)在(-,0)上是减函数B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数D.f(x)在(-,0)上是增函数3.函数y=在区间2,6上的最大值是,最小值是.4.已知定义域在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),在(0,+)上是增函数,且f
4、(x)0时,f(x)1时,f(x)0;对任意正实数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)在(0,+)上是递减函数.求函数y=的单调区间.求函数y=在区间1,2上的最大值和最小值.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(1-a)+f(1-a2)0,若f(x)是(-1,1)上的减函数,求实数a的取值范围.1.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则它的图像过().A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间4,+)上是增函数,则实数a的取值范围是().A.
5、a3B.a-3C.a-3D.a53.已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a0,求a的取值范围.1.(2010年天津卷)设函数f(x)=x-,对任意x1,+),f(mx)+mf(x)0,故C正确.2.D由于函数f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9,其图像是开口向下的抛物线,对称轴为x=1,结合其图像可知,该函数的递增区间是(-,1,递减区间是(1,+),据此可知,D正确.3.2(法一)设2x1x26,则有f(x1)-f(x2)=-=.2x10,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函数y=在区间2,6上是减函数.当x=2时,函数y=在区间2,6上取得最大值f(2)=2;
6、当x=6时,函数y=在区间2,6上取得最小值f(6)=.(法二)利用变换法画出函数y=的图像,只取在区间2,6上的部分.观察可得函数的图像是下降的.当x=2时,函数y=在区间2,6上取得最大值f(2)=2;当x=6时,函数y=在区间2,6上取得最小值f(6)=.4.解:任取x1,x2(-,0),且x1x2-x20,因为y=f(x)在(0,+)上是增函数,且f(x)0,所以f(-x2)f(-x1)f(x1)0,则F(x1)-F(x2)=0,即F(x1)F(x2).故F(x)=在(-,0)上是减函数.重点难点探究探究一:【解析】令u=x2-2x-3=(x-1)2-4,则y=u3,根据复合函数单调性
7、判定方法知:当x1时,u是关于x的单调递增函数,又y=u3是关于u的单调递增函数,y=(x2-2x-3)3在(1,+)上是单调递增函数.y=(x2-2x-3)3的单调递减区间为(-,1),单调递增区间为(1,+).【小结】一般地,复合函数y=fg(x)的判定方法有:令u=g(x),则y=f(u).(1)当u=g(x)为增(减),y=f(u)增(减)时,y=fg(x)为增;(2)当u=g(x)为增(减),y=f(u)减(增)时,y=fg(x)为减.可总结为:“同增异减”.探究二:【解析】f(x)在R上为减函数,-3,3R,f(x)在-3,3上也是减函数,故f(x)max=f(-3),f(x)mi
8、n=f(3),f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)=-2.m=n=0得,f(0)+f(0)=f(0)可得f(0)=0.m=-3,n=3时,f(-3)+f(3)=f(0),f(-3)=-f(3)+f(0)=2.故f(x)max=2,f(x)min=-2.【小结】运用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数的图像作不出来时,单调性几乎成了首选方法.探究三:【解析】设x1、x2(0,+),且x2x1,则1,于是由知,f()0.又由知,f(x2)=f(x1)=f()+f(x1),f(x2)-f(x1)=f()0,即f(x2)
9、f(x1),f(x)在(0,+)上是递减函数.【小结】证明函数的单调性,其一般方法是定义法.如果给出了函数的表达式,则选择作差法或作商法比较f(x1)-f(x2)与0的大小或比较与1的大小;如果没给出具体表达式,而是给出抽象函数及其所满足的一些性质与条件,则要想办法构造f(x1)-f(x2)或的形式,并判断它们与0或1的大小关系.思维拓展应用应用一:令u=x2+2x+1=(x+1)2,则y=,当x-1时,u为单调递增,y=为单调递增,y=在(-1,+)上单调递增,y=的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为(-1,+).应用二:任取x1,x2,且1x1x22,则f(x1)-f(x2)=-=
10、.因为1x1x22,所以2x1+x24,即63(x1+x2)12,又1x1x20,故f(x1)-f(x2)0,所以函数y=在区间1,2上为减函数,ymax=f(1)=-,ymin=f(2)=-4.应用三:利用单调性及f(-x)=-f(x),脱去f(1-a)+f(1-a2)0中的函数记号“f”.由f(1-a)+f(1-a2)0,得f(1-a)-f(1-a2),f(-x)=-f(x),x(-1,1),f(1-a)f(a2-1),又f(x)在(-1,1)上为减函数,则解得0a1,故实数a的取值范围是(0,1).基础智能检测1.C由题知y是减函数,k0,图像经过第一、二、四象限.2.C对称轴x=1-a
11、,对称轴与区间端点满足1-a4,所以a-3.3.f(-3)f(3)f()增区间为(-,),减区间为,+),所以f(-3)f(3)0,f(2+a)-f(1-2a).又f(-x)=-f(x),f(2+a)f(2a-1),由于f(x)在(-2,2)上单调递增,解得-a0,由复合函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数,此时不符合题意;当m0时,有mx-+mx-02mx-(m+)01+2x2.因为y=2x2在x1,+)上的最小值为2,所以1+1,解得m1(舍去).2.对于,若f(x1)=f(x2),则x1=x2,不满足;是单函数;命题实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题满足条件.
