1、第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.2抛物线的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为()A.2B.2C.22D.22答案D解析由题意,点F(2,0),因为|AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因为点A在抛物线上,所以yA2=32,则yA=42,所以点A(4,42),则kAF=422=22.2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点答案C解析直线y=kx-k=k(x-1),直
2、线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,直线与抛物线有两个公共点.3.若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的准线的距离为()A.12B.32C.2D.52答案B解析由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-12,AB垂直于x轴,|AB|=22,A到y轴的距离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+12=32.4.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|
3、,则有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12|AB|C.|PP1|12|AB|D.|PP1|0),设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,|AF|=3,y0+p2=3,|AM|=17,x02+y0+p22=17,x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p3-p2,解得p=2或p=4.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.9.已知抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-1.(1)求p的值;(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.解(1)由抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.(2)设A(x1,
4、y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2(x1+x2)2-4x1x2=232=8.关键能力提升练10.已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且FA=3FB,则|AB|=()A.23B.43C.83D.163答案C解析抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),FA=3FB,m+12=23,m+1=43,AB=83.11.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点
5、F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有()A.1个B.2个C.0个D.无数个答案B解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.12.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0答案B解析因为点A(2,2)在抛物线y2=2px上,故22=2p2,即p=1,所以抛物线方程
6、为y2=2x,设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=3,如图,直线AB:y-2=3(x-2),直线AC:y-2=-3(x-2).联立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(43-14)x+16-83=0,故xAxB=16-833,由xA=2得xB=8-433,故yB=23-63,联立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2-(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,由xA=2得xC=8+433,故yC=-23-63,故y
7、B+yC=23-63+-23-63=-4,又由B,C在抛物线上可知,直线BC的斜率为kBC=yB-yCxB-xC=yB-yC12yB2-12yC2=2yB+yC=2-4=-12,故直线BC的方程为y-23-63=-12x-8-433,即3x+6y+4=0.13.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足MF=3FN,SOMN=3|MN|,则p的值为.答案8解析不妨设直线MN的斜率k0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,过N作NKMG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,|MG|=3|NH|,|MK|=2|NH|=2|N
8、F|=12|MN|,|NK|=|MN|2-|MK|2=32|MN|,由SOMN=SOMF+SONF=12|OF|NK|=38p|MN|,又SOMN=3|MN|,38p|MN|=3|MN|,得p=8.14.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.答案y2=3x解析由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点Fp2,0.当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ
9、斜率存在时,设PQ的方程为y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-px+p24=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+2pk2,x1x2=p24.所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k22p.综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,抛物线方程为y2=3x.15.(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线
10、,A,B是切点,求PAB面积的最大值.解(1)点F0,p2到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即y=14x2,则y=12x.设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得直线lPA:y=x12x-x124,直线lPB:y=x22x-x224,从而得到Px1+x22,x1x24,设直线lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2-4kx-4b=0,=16k2+16b0,即k2+b0,且x1+x2=4k,x1x2=-4b,P(2k,-b).|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k2
11、+16b,点P到直线AB的距离d=|2k2+2b|k2+1,SPAB=12|AB|d=4(k2+b)32,又点P(2k,-b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故k2=1-(b-4)24,代入得,SPAB=4-b2+12b-15432,而yP=-b-5,-3,当b=5时,(SPAB)max=205.16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值;(2)连接MN,记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.(1)解依题意,设AB的方程为x=my
12、+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)证明设M(x3,y3),N(x4,y4),k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.学科素养拔高练17.已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则|NF|9-4|M
13、F|的最小值为()A.23B.-23C.-13D.13答案D解析抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,-8),|MF|=|NF|=8,|NF|9-4|MF|=718.当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,x1+x2=8+16k2,x1x2=16,|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2+4,1|MF|+1|NF|=x1+x2+84
14、(x1+x2)+x1x2+16=16+16k232+64k2+16+16=14.|NF|9-4|MF|=|NF|9+4|NF|-12|NF|94|NF|-1=13,当且仅当|NF|=6时取等号.故|NF|9-4|MF|的最小值为13.18.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是()A.若x1+x2=6,则|PQ|=8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|2D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条答案ABC解析若直
15、线的斜率存在,设y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=242=8,故A成立;对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N,Q在l上的投影为Q,根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ|=|QF|,NN为梯形的中位线,故|NN|=12(|PP1|+|QQ|)=12|PQ|,故B成立;对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|MF|=2,故C成立;对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.
