1、第15练导数与单调性题型一利用导数求函数的单调区间例1函数yx2ln x的单调递减区间为_破题切入点求出函数的导函数f(x)，根据定义解不等式f(x)0即可，求解时注意函数的定义域答案(0,1解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0x1，所以函数的单调递减区间为(0,1题型二已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围例2已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值为_破题切入点函数f(x)在(0,1)上为减函数，g(x)在(1,2)上为增函数，利用导函数f(x)0在0,1上恒成立，g(x)0在1,2上恒成立解出两个
2、a的取值范围，求出交集即可答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.题型三与函数导数、单调性有关的图象问题例3设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极值情况为_破题切入点根据函数y(1x)f(x)的图象找到f(x)的导函数的符号，再由极值点的定义得出结论答案有极大值f(2)和极小值f(2)解析利用极值的存在条件判定当x0，得f(x)0；当2x1时，y(1x)f(x)0，得f(x)0；当1x0，得f(x)
3、2时，y(1x)f(x)0，f(x)在(，2)上是增函数，在(2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)总结提高(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤：确定函数的定义域求导函数f(x)若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f(x)0或f(x)0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)10恒成立，m0成立，当0时，则m280，2mf(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是_af(b)bf(a); af(a)bf(b)；af(a)bf(b); af(b)f(
4、x)，得xf(x)f(x)0，即F(x)0，所以F(x)在R上为递增函数因为ab，所以af(a)bf(b)4(2014课标全国改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析x0时0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(0,2)(，2)6函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)是它的导函数，且f(x)f();
5、 f(1)f(); f()f()答案解析f(x)f(x)tan xf(x)cos xf(x)sin x，构造函数g(x)，则g(x)，根据已知f(x)cos x0，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以g()g()，即，所以f()0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，)8已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_答案1，)解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.9设f(x)x3x22ax.若f(x)在(，)上存在单调递增区间，则a的取值范围为_答案(，)解析由已知得f(x)x2x2a
6、(x)22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a0，得a.所以当a时，f(x)在(，)上存在单调递增区间10已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0.ex0，x220，解得x0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R
7、上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数11已知函数f(x)(aR)，g(x).(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有公共点，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得xe1a，当x(0，e1a)时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(e1a，)时，f(x)0，得xe2a；令F(x)e2a，故函数F(x)在区间(0，
8、e2a上是增函数，在区间e2a，)上是减函数当e2a0时，函数F(x)在区间(0，e2a上是增函数，在区间e2a，e2上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.又F(e1a)0，F(e2)0，由图象，易知当0xe1a时，F(x)0；当e1a0，此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上有1个公共点当e2ae2，即a0时，F(x)在区间(0，e2上是增函数，F(x)maxF(e2).若F(x)maxF(e2)0，即1a0时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2上只有1个公共点；若F(x)maxF(e2)0，即a1时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在
9、区间(0，e2上没有公共点综上，满足条件的实数a的取值范围是1，)12(2014大纲全国)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1，故此时f(x)在R上是增函数由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根x1，x2.若0a0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a0，则当x(，x1)或x(x2，)时，f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30，故当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.综上，a的取值范围是，0)(0，)
