1、回顾4数列与不等式必记知识1等差数列设Sn为等差数列an的前n项和，则(1)ana1(n1)dam(nm)d，若pqmn，则apaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成的数列是等差数列(4)n是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列(5)Sn.(6)若等差数列an的项数为偶数2m(mN*)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)(am，am1为中间两项)，S偶S奇md，.(7)若等差数列an的项数为奇数2m1(mN*)，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
2、则所有项之和S2m1(2m1)am(am为中间项)，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.(8)若Smn，Snm(mn)，则Smn(mn)2等比数列(1)anamqnm，anmanqmamqn(m，nN*)(2)若mnpq，则amanapaq；反之，不一定成立(m，n，p，qN*)(3)a1a2a3am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，成等比数列(mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，SknS(k1)n，成等比数列(n2，且nN*)(5)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则q.(6)an，bn成等比数列，则an，anbn
3、，成等比数列(0，nN*)(7)通项公式ana1qn1qn，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点(8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数(9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为，xq，xq3.提醒(1)如果数列an成等差数列，那么数列Aan(Aan总有意义)必成等比数列.(2)如果数列an成等比数列，且an0，那么数列logaan(a0且a1)必成等差数列.(3)如果数列an既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非
4、零常数列；数列an是常数列仅是数列an既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件.(4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数.(5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列.3一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)解含有参数的一元二次不等式一般要分
5、类讨论，往往从以下几个方面来考虑：二次项系数，它决定二次函数的开口方向；判别式，它决定根的情形，一般分0，0，0三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小4一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是5分式不等式0(0)f(x)g(x)0(0)；0(0)提醒(1)不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.(2)解形如一元二次不等式ax2bxc0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0进行讨论.(3)应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把0直接转化为f(x)g(x)0，而忽视g
6、(x)0.6图解法求解线性规划问题的基本要点(1)定域：画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应(2)平移：画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与可行域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解；注意熟练掌握常见的几类目标函数的几何意义(3)求值：利用直线方程构成的方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，求出最值提醒(1)直线定界，特殊点定域：注意不等式中的不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.若直线不过原点，特殊点常选取原点；若直线过原点，则特殊点常选取(1，0)，(0，1).(2)线性约束条件下的线性目标函数的最优解
7、一般在平面区域的顶点或边界处取得，最优解不一定唯一，有时可能有多个；非线性目标函数或非线性可行域的最值问题，最优解不一定在顶点或边界处取得.7利用基本不等式求最值(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2.(2)对于正数x，y，若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.(3)已知a，b，x，yR，若axby1，则有(axby)abab2()2.(4)已知a，b，x，yR，若1，则有xy(xy)abab2()2.提醒利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：所求式中的相关项必须是正数.求积xy的最大值时，要看和xy是否为定值，求和xy的最
8、小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧.当且仅当对应项相等时，才能取等号.以上三点应特别注意，缺一不可.必会结论1判断数列单调性的方法(1)作差比较法：an1an0数列an是递增数列；an1an0数列an是递减数列；an1an0数列an是常数列(2)作商比较法：当an0时，则1数列an是递增数列；01数列an是递减数列；1数列an是常数列当an0时，则1数列an是递减数列；01数列an是递增数列；1数列an是常数列(3)结合相应函数的图象直观判断2数列中项的最值的求法(1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数f(n)an(nN*)，利用求解函数
9、最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数(2)利用数列的单调性求解：利用不等式an1an(或an1an)求出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而求出数列中项的最值(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列an的最大项，则可转化为求解若求数列an的最小项，则可转化为求解求出n的取值范围之后再确定取得最值的项3求数列通项公式的常用方法(1)公式法：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式(2)已知Sn(a1a2anSn)，求an，用作差法：an(3)已知a1a2anf(n)，an0，求an，用作商法：an(4)已知an1anf(n)，求an，用累加法：an(anan1)(an
10、1an2)(a2a1)a1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(5)已知f(n)，求an，用累乘法：ana1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(6)构造等比数列法：若已知数列an中，an1panq(p0，p1，q0)，a1，设存在非零常数，使得an1p(an)，其中，则数列an就是以a1为首项，p为公比的等比数列，先求出数列an的通项公式，再求出数列an的通项公式即可(7)倒数法：若an(mkb0，n2)，对an取倒数，得到，即.令bn，则bn可归纳为bn1pbnq(p0，q0)型4数列求和的常用方法(1)公式法：等差数列的求和公式；等比数列的求和公式；常用公式，即123nn(n1)
11、，122232n2n(n1)(2n1)，135(2n1)n2，nN*.(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用的裂项形式有；，；.5解不等式恒成立问题的常用方法(1)若所
12、求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑使用判别式法求解，利用二次项系数的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类讨论(2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转化原理是：在闭区间D上，f(x)0恒成立f(x)在区间D上的图象在x轴上方或x轴上；f(x)0f(x)在区间D上的图象在x轴下方或x轴上(3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即“f(x)a”或“f(x)a”型不等式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化原理是：f(x)a在闭区间D上恒成立f(x)mina(xD)；f(x)a在闭区间D上恒成
13、立f(x)maxa(xD)(4)分离参数法：将恒成立的不等式F(x，m)0(或0)(m为参数)中的参数m单独分离出来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于参数与变量能分离和函数的最值易于求出的题目，其一般转化原理是：当m为参数时，g(m)f(x)g(m)f(x)max；g(m)f(x)g(m)f(x)min.必练习题1已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d()A1B2C3 D解析：选B在等差数列an中，S312，解得a12，又a3a12d22d6，解得d2，选B2设等差数列an的前n项和为Sn，a2a46，则S5等于()A1
14、0 B12C15 D30解析：选C由等差数列的性质可得a2a4a1a5，所以S515，故选C3已知等比数列an的公比为正数，且a2a69a4，a21，则a1的值为()A3 B3C D解析：选D设数列an的公比为q，由a2a69a4，得a2a2q49a2q2，解得q29，所以q3或q3(舍)，所以a1.故选D4已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5C5 D7解析：选D设数列an的公比为q.由题意，得所以或解得或当时，a1a10a1(1q9)1(2)37；当时，a1a10a1(1q9)(8)7.综上，a1a107.故选D5设x，y满足约束条件则目标函数zxy的最
15、大值是()A3 B4C6 D8解析：选C法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线xy0，平移该直线，当直线经过点A(6，0)时，z取得最大值，即zmax6，故选C法二：目标函数zxy的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)当x3，y0时，z3；当x6，y0时，z6；当x2，y2时，z4.所以zmax6，故选C6若数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN*)，若b32，b1012，则a8()A0 B3C8 D11解析：选B依题意可设等差数列bn的公差为d，则b10b37d27d12，解得d2，所以bnb3(n3
16、)d2n8，又bnan1an，则b7a8a7，b6a7a6，b1a2a1，采用累加法可得，b7b6b1(a8a7)(a7a6)(a2a1)a8a1，又易知b1b2b70，则a8a13，故选B7在各项均不为零的数列an中，若a11，a2，2anan2an1an2anan1(nN*)，则a2 018()A BC D解析：选C因为2anan2an1an2anan1(nN*)，所以，所以是等差数列，其公差d2，所以1(n1)22n1，an，所以a2 018.8已知函数f(x)则不等式f(x1)0的解集为_解析：由题意，得f(x1)当x2时，由2x220，解得2x3；当x2时，由22x20，解得1x2.综上所述，不等式f(x1)0的解集为x|1x3答案：1，39已知数列an满足a1，an(n2，nN*)，则通项公式an_解析：由an，令bn，则bnbn1bn1(bn11)，由a1，得b11，所以bn1是以为首项，为公比的等比数列，所以bn1，得an.答案：10已知Sn为数列an的前n项和，且a11，anan13n，则S2 017_解析：由anan13n，得an1an3n1(n2)，所以3(n2)，则数列an的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a11，a1a23，所以a23，所以S2 01731 0092.答案：31 0092
