1、北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1函数的定义域为 A B C D 2如果点在以点为焦点的抛物线上，则 A B C D3命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是结束是 否a2013?输出i开始A B C D4在中，则的面积等于A B C或 D或5执行如图所示的程序框图，输出结果是若，则所有可能的取值为A B C D
2、 6已知正方形的四个顶点分别为，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是 A B C D7已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为A B C D 18已知数列满足下面说法正确的是当时，数列为递减数列；当时，数列不一定有最大项； 当时，数列为递减数列；当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上频率/组距0.040.050.12小时842610120.150.149某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（
3、如图所示），那么这100名学生中阅读时间在小时内的人数为_10在各项均为正数的等比数列中，若，则 11直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_12一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 13实数满足若恒成立，则实数的最大值是 14所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数如：；已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数 ；又，所以的所有正约数之和可表示为；，所以的所有正约数之和可表示为；按此规律，的所有正约数之和可表示为 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本题满分13分）已知函数（）求函数的
4、最小值；（）若，求的值16（本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为，求随机变量的分布列和期望17（本题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，.（）求证：；BPDOACG（）设分别为的中点，点为内一点，且满足，求证：面；（）若，求二面角的余弦值18（本题满分13分）已知函数，
5、（）当时，求函数的极小值；（）若函数在上为增函数，求的取值范围19.已知椭圆两焦点坐标分别为,，且经过点（）求椭圆的标准方程；（）已知点，直线与椭圆交于两点若是以为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线的方程20（本题满分13分）已知是正数， ，（）若成等差数列，比较与的大小；（）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；（）若，（），且，的整数部分分别是求所有的值北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（理工类） 2014.1一、选择题题号12345678答案CCBDBAAC二、填空题题号91011121314答案三、解答题15解：（）因为 ， 又，所以当时，函数
6、的最小值为. 6分（）由（）得， 所以于是（舍）或 又 13分87569826甲乙557258516解：（）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好 6分（）随机变量的所有可能取值为，随机变量的分布列是： 13分17证明：（）因为平面，平面， 所以 又因为，且，所以平面又因为平面，所以 4分（）解法1:因为平面，所以，又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系DOBAPCGxyz设，则，又因为，所以于是，设平面的一个法向量，则有 即 不妨设，则有，所以因为，所以又因为平面，所以平面 9分CPDOAGEFBCPDOAGEF解法2：取中点
7、，连，则.由已知可得,则点在上.连结并延长交于，连.因为分别为的中点，所以,即为的中点.又因为为线段的中点，所以.B又平面,平面,所以平面 9分（）由（）可知平面的一个法向量 又因为面，所以面的一个法向量是 又，由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 14分18 解：（）定义域当时，令，得当时，为减函数；当时，为增函数.所以函数的极小值是 5分（）由已知得因为函数在是增函数，所以，对恒成立由得，即对恒成立设，要使“对恒成立”，只要因为，令得当时，为减函数；当时，为增函数.所以在上的最小值是故函数在是增函数时，实数的取值范围是 13分19解：（）设椭圆标准方程为依题意，所以又，所以于是椭
8、圆的标准方程为 5分（）依题意，显然直线斜率存在.设直线的方程为，则由得因为,得 设，线段中点为，则于是因为，线段中点为，所以（1）当，即且时，整理得 因为，所以，整理得，解得或当时，由不合题意舍去.由知，时，（2）当时，（）若时，直线的方程为，代入椭圆方程中得.设，,依题意，若为等腰直角三角形，则.即，解得或.不合题意舍去，即此时直线的方程为.（）若且时，即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足为等腰直角三角形.综上，直线的方程为或或. 14分20解：（）由已知得=因为成等差数列，所以，则，因为，所以，即，则，即，当且仅当时等号成立 4分（）解法1：令，依题意，且，所以故，即；且，即所以且故三个数中，最大解法2：依题意，即因为，所以，于是，所以，因为在上为增函数，所以且故三个数中，最大 8分（）依题意，的整数部分分别是，则，所以又，则的整数部分是或当时，；当时，（1） 当时，的整数部分分别是，所以，所以，解得又因为，所以此时（2）当时，同理可得，所以，解得又，此时（3）当时，同理可得，同时满足条件的不存在综上所述 13分12山东、北京、天津、云南、贵州、江西 六地区试卷投稿QQ 2355394694
