1、专题14：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之等腰直角三角形构建三垂直全等一、单选题1如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，以为腰作等腰直角三角形，则直线的解析式是（ ）ABCD或2如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形对角线的交点E，若点A(2，0)、D(0，4)，则k=（ ）A6B8C9D123如图，RtABC中，C=90，BC=6，DE是ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转（0180）角得到点F，连接AF，BF下列结论：ABF是直角三角形；若ABF和ABC全等，则=2BAC或2ABC；若=9
2、0，连接EF，则SDEF=4.5；其中正确的结论是（ ）ABCD4如图，ACB=90，AC=BC，BECE于E，ADCE于D，给出下列结论：ABC=45；ADBE；CAD=BCE；CEBADC；那么其中正确的有（ ）A2个B3个C4个D5个二、填空题5如图，点在线段上，于，于，且，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动.过，分别作的垂线，垂足为，.设运动时间为，当以，为顶点的三角形与全等时，的值为_6如图，四边形ABCD中，ABCACD90，ACCD，BC4cm，则 的面积为_cm27如图，已知点M（-1，0），点N（5m，3m
3、+2）是直线AB：右侧一点，且满足OBM=ABN，则点N的坐标是_8如图，AOOM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰RtOBF、等腰RtABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度_9如图，已知三条平行直线，两条平行线间的距离为2，两条平行线间的距离为4，将一等腰直角三角形如图放置，过A，B分别向直线作垂线，垂足分别为D，E，则_三、解答题10如图所示，且，延长交于点，且求证：11在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，
4、并说明理由；（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由12如图，在中ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E（1）求证：；（2）若AD=2，BE=3，求的面积13在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D， BEMN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由14如图，点A（2，0），点C（1，0），点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D线段AB沿y轴向下平移2m（m0）个单位长度，得到线段A1B1，抛物线yax2
5、+bx+2过点A1，B1（1）当m1时，a ；（2）求a与m之间的关系式；（3）线段CD沿y轴向下平移2n（n0）个单位长度，得到线段C1D1，抛物线yax2+bx+2过点C1，D1a ；（用含n的式子来表示）m与n之间的关系式为 点P（x，0）在x轴上，当PC1B1为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标15（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）应用模型：已知直线y2x4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；如图3，矩形ABC
6、O，O为坐标原点，B的坐标为(5，4)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y2x3上的一点，点Q是平面内任意一点若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标参考答案1D【解析】【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CEx轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出ABOCAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式【详解】解：一次函数y=x+2中，令x=0得：y=2；令y=0，解得x=5，B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）若BAC=90，如图1，作CEx轴于点E，BAC=90，OAB+CAE=90，又CAE+A
7、CE=90，ACE=BAO在ABO与CAE中，ABOCAE（AAS），OB=AE=2，OA=CE=5，OE=OA+AE=2+5=7则C的坐标是（7，5）设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：解得，直线BC的解析式是y=x+2若CBA=90，如图2，即BCAB，同理可得，直线BC解析式为：y=x+2；故选：D【点评】本题考查的是一次函数问题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键2C【解析】【分析】由A、D两点坐标，可得到OA=2，OD=4，通过作垂线，构造全等三角形后，可以得出点B的坐标，
8、再根据中点坐标公式可求出点E的坐标，进而确定反比例函数的关系式，得出k的值【详解】过点B作BFOA，垂足为F，A（2，0）、D（0，4），OA=2，OD=4，ABCD是正方形，AD=AB，DAB=90，DAO+ADO=DAO+BAF=90，ADO=BAF，又AOD=BFA=90，AODBFA （AAS），BF=OA=2，AF=OD=4，点B（6，2），E是BD的中点，点E的坐标为(，)，即(，)，把E(，)代入反比例函数的关系式得：，故选：C【点评】本题是反比例函数与几何的综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，确定E点坐标是解决问题的关键3C【
9、解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；分两种情况讨论：或，分别求即可 ；先根据题意画出图形，首先证明 ，然后得出，最后利用即可求解【详解】DE是ABC的中位线，由旋转可知， ， ， ，即 ，ABF是直角三角形，故正确； ， 若ABF和ABC全等，当时， ；当时，综上所述，若ABF和ABC全等，则=2BAC或2ABC，故正确；过点F作交ED的延长线于点G，DE是的中位线， ， ， ， ， ，D为AB中点， 在和中， ，故正确；所以正确的有：故选：C【点评】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形
10、的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键4D【解析】【分析】根据ABC是等腰直角三角形可判断正确；根据“内错角相等，两直线平行”可判断正确；利用等腰三角形的性质及其它条件，证明CEBADC，则其他结论易求【详解】解：ACB=90，AC=BC，ABC是等腰直角三角形，ABC=45，故正确；BECE，ADCE，ADBE，故正确；BCE+ACD=90ACD+CAD=90BCE=CAD，故正确；又E=ADC=90，AC=BCCEBADC，故正确CE=AD，BE=CD，故正确因此，正确的结论有5个，故选：D【点评】本题考查了直角三角形全等的判定；
11、要充分利用全等三角形的性质来找到结论，利相等线段的等量代换是正确解答本题的关键；51或或【解析】【分析】根据题意分三种情况进行讨论，并由全等三角形的判定和性质进行分析即可求解【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等，PC=CQ，5-2t=6-3t，t=1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等，PC=CQ，5-2t=3t-6，t=，当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，以P，C，M为顶点的三角形与QCN全等，PC=CQ，2t-5=18-3t，t=，综上所述：t的值为1或或故答案为：1或或【点评】本题考查全等三角
12、形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键68【解析】【分析】作DHBC，证明，根据全等三角形的性质得到DHBC4，根据三角形的面积公式计算，得到答案【详解】解：过点D作DHBC，交BC的延长线于点H，ABC90，BAC+ACB90，ACD90，HCD+ACB90，BACHCD，在ABC和CHD中， ，（AAS），DHBC4，的面积（cm2），故答案为：8【点评】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键7【解析】【分析】在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQPB交直线BN于Q，作QRx轴于R，构造全等三角形OBP
13、RPQ（AAS）；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q（5，1），易得直线BQ的解析式，所以将点N代入该解析式来求m的值即可【详解】解：在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQPB交直线BN于Q，作QRx轴于R，BOP=BPQ=PRQ=90，BPO=PQR，OA=OB=4，OBA=OAB=45，M（-1，0），OP=OM=1，BP=BM，OBP=OBM=ABN，PBQ=OBA=45，PB=PQ，OBPRPQ（AAS），RQ=OP=1，PR=OB=4，OR=5，Q（5，1），直线BN的解析式为yx+4，将N（5m，3m+2）代入yx+4，得3m+2=5m+4解得 m，N故答案为：【
14、点评】本题考查了一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，两点间的距离公式等知识点，难度较大8【解析】【分析】根据题意过点E作ENBM，垂足为点N，首先证明ABOBEN，得到BO=ME；进而证明BPFMPE并分析即可得出答案【详解】解：如图，过点E作ENBM，垂足为点N，AOB=ABE=BNE=90，ABO+BAO=ABO+NBE=90，BAO=NBE，ABE、BFO均为等腰直角三角形，AB=BE，BF=BO；在ABO与BEN中，ABOBEN（AAS），BO=NE，BN=AO；BO=BF，BF=NE，在BPF与NP
15、E中，BPFNPE（AAS），BP=NP= BN，BN=AO，BP= AO= 7=故答案为：【点评】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析910【解析】【分析】首先根据同角的余角相等得出，再根据等腰三角形性质和一线三等角证出，所以，即，从而求解【详解】于点D，于点E，在和中，故答案为：10.【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等根据同角的余角相等和一线三等角证明三角形全等是解题关键10详见解析【解析】【分析】延长BF至G，使，连结EG，得，BF=GF，再证，得.【详解】证
16、明：延长BF至G，使，连结EG，在BDF和GEF中， ， ，BF=GF，BG=2BF，BEBA，C=G=90，A=EBG，在ABC和BEG中， ，AC=BG=2BF.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键11（1）全等，见解析；（2）全等，见解析【解析】【分析】（1）首先根据同角的余角证明DACBCE，再利用AAS定理证明DACECB；（2）首先根据同角的余角证明DACBCE，进而利用HL定理证明ACDCBE【详解】（1）如图1，全等，理由：ACB90，ADMN于D，BEMN于E，DAC+DCABCE+DCA，DACBCE，在DAC与ECB中，D
17、ACECB（AAS）；（2）如图2，全等，理由：ACB90，ADMN，DAC+ACDACD+BCE，DACBCE，在ACD与CBE中，ACDCBE（AAS）【点评】本题考查全等三角形的判定及其性质定理的同时，还渗透了对旋转变换的考查；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理解题12（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出BECACBADC，根据等式性质求出ACDCBE，根据AAS证出ADC和CEB全等即可；（2）由（1）可推出CDBE，ADCE，进而可得到AC=AB=，再计算ABC面积即可【详解】解：（1）证明：ACB90，ADMN，BEMN，BECACBADC90，ACE+
18、BCE90，BCE+CBE90，ACDCBE，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）ADCCEBBECD，ADCE，AC=BC，又AD=2，BE=3，AC=BC=，ABC的面积为，故ABC的面积为【点评】全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件13（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知推出ADC=BEC=90，因为ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出AD
19、CCEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案【详解】解：（1）证明：如图1，ADDE，BEDE，ADC=BEC=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，DAC=BCE，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）结论：DE=AD-BE理由：如图2，BEEC，ADCE，ADC=BEC=90，EBC+ECB=90，ACB=90，ECB+ACE=90，ACD=EBC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），AD=CE，CD=BE，DE=EC-CD=AD-BE【点评】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明ACDCBE是解此题的关
20、键，题型较好，综合性比较强14（1）2；（2）am1；（3）2n2；m2n+1；点P的坐标为（，0）或（4，0）或（，0）【解析】【分析】（1）平移后A1、B1的坐标分别为（2，2m）、（2，2m），则，即可求解；（2）由（1）中的方程组即可得出（3）平移后点C1、D1的坐标分别为（1，2n）、（1，2n），则，即可求解；分B1P C1为直角、C1B1P为直角、B1 C1P为直角三种情况，利用三角形全等求解即可【详解】解：（1）点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D，则点B、D的坐标分别为（2，0）、（1，0），则平移后A1、B1的坐标分别为（2，2m）、（2，2m），则，4a+44m，am
21、1，当m1时，a2，故答案为2；（2）由（1）得：am1，（3）平移后点C1、D1的坐标分别为（1，2n）、（1，2n），则，解得：a2n2，而am1，故m2n+1，故答案为：2n2；m2n+1；平移后点B1坐标为（2，2m），即（2，4n2），而点C1（1，2n），（）当B1P C1为直角时，如图1，连接B B1、C C1，CP C1+BPB190，CPC1+CC1P90，BPB1CC1P，而P B1PC1，PCC1B1BP90，PCC1B1BP（AAS），CC1PB，BB1PC，即2n2x且x+14n+2，解得：x故点P的坐标为（，0）；（）当C1B1P为直角时，过C1作C1MA1 B1，
22、过点P作PNA1B1交A1 B1的延长线于点N，同理可得：C1MB1B1NP（AAS），M C1B1N且M B1PN，即2n+2x2且4n+23，解得：x，P的坐标为（）；（）当B1 C1P为直角时，简图如图3，过点C1作C1Mx轴，过点B1作x轴的平行线交M C1的延长线于点N，同理可得：PMC1C1N B1（AAS），PMC1N，C1MN B1，即x+12n+2，2n3，解得：x4，故点P（4，0）；综上，点P的坐标为（，0）或（4，0）或（，0）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、等腰直角三角形的性质以及分类讨论的数学思想，要注意求解时，避免遗漏15（1）证明见解析；
23、（2）；或【解析】【分析】（1）由条件可求得，利用可证明；（2）过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，从而可求得点坐标，分两种情况考虑：如图3、图4所示，构造如图（1）模型，由全等三角形性质可得线段相等，设点D坐标为(x,2x-3)，即可用x表示P点坐标，根据点P在BC上列方程即可求出的坐标【详解】解：（1），在和中；（2）如图2，过作轴于点，在中，令可求得，令可求得，同（1）可证得， 矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(5，4)，A点坐标为（0，4），C点坐标为(5,0),当四边形ADPQ是正方形时， ， I.如图3，当D在A点下方时，过D点作MNy轴，垂足为N，交B
24、C于M，同理（1）：，AN=DM，ND=PM，设D点坐标为 (x,2x-3)，则N点坐标为（0，2x-3），AN=DM=4-(2x-3)=7-2x，ND=PM=x，NM=ND+DM=7-x，P点坐标为（7-x，3x-3），因为P在BC上，7-x=5， 点坐标；II.如图4，当P在A点上方时，同理（1）：，AN=DM，ND=PM，设D点坐标为(x,2x-3)，则N点坐标为（0，2x-3），AN=DM= (2x-3)-4=2x-7，ND=PM=x，NM=ND+DM=3x-7，P点坐标为（3x-7，x-3），因为P在BC上，3x-7=5， 点坐标；综上可知满足条件的点的坐标分别为或【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大
