1、增长速度的比较(15分钟30分)1.下列函数中函数值随x的增大而增长,且函数值增长速度最快的是()A.y=ex B.y=10ln x3C.y=x10D.y=102x【解析】选A.对于C,函数值随x的增大先减小后增大,不符合题意,对于B,可化为y=30ln x,函数值增长速度越来越慢,而A,D中函数值增长速度越来越快,因为e2,所以ex比102x增长速度快.故选A.2.函数y=x2+1在上的平均变化率是()A.2B.2xC.2+xD.2+【解析】选C.依题意,所求平均变化率为=2+x.3.有一组实验数据如表所示:t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A.y=
2、logax(a1)B.y=ax+b(a1)C.y=ax2+b(a0)D.y=logax+b(a1)【解析】选C.通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A、D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.4.某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像是下图中的()【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%;经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2;经过x年的森林蓄积量为(1+10.4%)x(x0),因为底数110.4%大于1,根据指数增长的特征可知选D.
3、5.若函数f(x)在任意区间内的平均变化率比g(x)=1在同一区间内的平均变化率大,则函数f(x)可以为_,函数f(x)是_函数.(填“单调递增”或“单调递减”)【解析】因为函数g(x)=1在任意区间上的变化率为0,所以函数f(x)在任意区间上的变化率为正数,所以函数f(x)可以为f(x)=x,且函数f(x)是单调递增函数.答案:x(答案不唯一)单调递增6.若函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为,且函数的图像过(2,2)点,求f(x)的解析式.【解析】因为函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为,则f(x)为一次函数,设f(x)=x+b,又函数图像过点(2,2),所以2=2+b,所以b=1
4、,所以f(x)=x+1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选A.易知f=3,f=1,因此=-1.2.函数f(x)=x3在区间上的平均变化率为()A.1B.9C.19D.36【解析】选C.=19.3.函数f(x)=在区间1,a上的平均变化率为,则实数a的值为()A.10B.9C.8D.7【解析】选B.f(x)=在区间1,a上的平均变化率为=,解得实数a的值为9.4.已知f(x)=2x,g(x)=3x,h(x)=x3,则在区间上函数值增长速度的大小顺序是()A.h(x)f(x)g(x)
5、B.h(x)g(x)f(x)C.f(x)g(x)h(x)D.g(x)f(x)h(x)【解析】选C.因为=2,=6,=7,所以函数在区间上的函数值增长速度的大小顺序是f(x)g(x)h(x).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+x的平均变化率的取值范围是(1.975,2.025),则增量x的取值可以为()A.-0.1B.0.001C.0.01D.0.1【解析】选BC.=x+2 ,因为函数f(x)=x2由x=1至x=1+x的平均变化率的取值范围是,所以1.975x+22.025,-0.025xm2m3C.m
6、2m1m3D.m1m2m3【解析】选BCD.函数f(x)=x在上的平均变化率为m1=1;函数g(x)=x2在上的平均变化率为m2=1;函数h(x)=x3在上的平均变化率为m3=1;所以m1=m2=m3,故选BCD.【补偿训练】下面对函数f(x)=x,g(x)=和h(x)=在区间上的说法不正确的是()A.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越慢B.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越快C.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越慢D.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的
7、递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越快【解析】选ABD.观察函数f(x)=x,g(x)=和h(x)=在区间上的图像,由图像(图略)可知:函数f(x)的图像在区间上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间上递减较慢,且越来越慢.同样,函数g(x)的图像在区间上递减较慢,且递减速度越来越慢.函数h(x)的图像在区间上递减较快,但递减速度变慢;在区间上递减较慢,且越来越慢.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知f(x)=3x+2在任意区间上的平均变化率为_,当自变量每增加1个单位时,函数值增加_个单位.【解析】设区间,则=3,当自变量每增加1个单位时,函数值增加3个单位.答案:338.函数y=
8、x2与函数y=xln x在区间(0,+)上增长较快的一个是_.【解析】当x变大时,x比ln x增长得快,所以x2要比xln x增长得快.答案:y=x2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=3x+1,g(x)=5x-4,(1)判断f(2),g(2)的相对大小.(2)求使f(2+x)g(2).(2)令f(2+x)g(2+x),则3(2+x)+11,解得x.10.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.求函数f(x)=x2-2x+1区间的缓减区间.【解析】对于f(x)=x2-2x+1
9、,对称轴为x=2,在区间(-,2上是减函数.对于y=+-2,令g(x)=+,所以g(x)为奇函数,令0x1x2,则g(x1)-g(x2)=+-=(x1-x2)+-=(x1-x2)+=(x1-x2)=(x1-x2),当x1,x2(0,上时,x1-x20,x1x2-20,所以g(x1)g(x2),g(x)为减函数.当x1,x2,+)时,x1-x20,所以g(x1)-g(x2)1)上的平均变化率的大小为_.【解析】因为=2a+1,=3,=ln,又因为a1,所以2a+121+1=3,lnln=ln 2ln e=1g(x)h(x)2.比较函数f(x)=4x,g(x)=x+1在区间(a0)上的平均变化率的相对大小.【解析】因为=4a-1(4-1)=34a-1,=,又因为a0,所以=34a-1340-1=34-1=,所以函数f(x)在区间上的平均变化率比g(x)的小.
