1、平面与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,则二面角B-PA-C的大小为()A.90B.60C.45D.30【解析】选A.因为PA平面ABC,BA,CA平面ABC,所以BAPA,CAPA,因此BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又BAC=90,所以二面角B-PA-C的大小为90.2.在二面角-l-的一个面内有一条直线AB,若AB与棱l的夹角为45,AB与平面所成的角为30,则此二面角的大小是()A.30B.30或45C.45D.45或135
2、【解析】选D.如图所示,设AB与l交于一点C,在AB上任取一点M,过M作MN于N,过M作MEl于E,连接NE,则NEl.NEM为二面角-l-的平面角或它的补角,连接NC.因为BCE=45,BCN=30.设ME=x,则MC=x,MN=x.在RtMNE中,sinNEM=,所以NEM等于45或1353.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的平面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定【解析】选D.如图所示,设平面ABCN平面BCPQ,平面EFDG平面ABCN,GD平面BCPQ,当平面HDGM绕DG转动时,平面HDGM始终与平面BCPQ垂直,因为二面
3、角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的平面角的大小关系不确定.4.已知直线a,b与平面,下面能使成立的条件是() A.,B.=a,ba,bC.a,aD.a,a【解析】选D.由a,知内必有直线l与a平行,而a,所以l,所以.选D.5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC【解析】选C.如图,因为BCDF,所以BC平面PDF.所以A正确.因为BCPE,BCAE,所以BC平面PAE.所以DF平面PAE.所以B正确.所以平面ABC平面PAE,所以D正确,不成立
4、的是C选项.6.(多选题)下列命题中正确的是()A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】选ABC.如果平面平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直,故D项叙述是错误的.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,平面平面,在与交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面和内,ACAB,BDAB,AC=3,BD=12,则CD=_.【解析】连接BC.因为BDAB,=AB,所以BD.因为B
5、C,所以BDBC,所以CBD是直角三角形.在RtBAC中,BC=5.在RtCBD中,CD=13.答案:138.(双空题)已知PA矩形ABCD所在的平面(如图),写出图中互相垂直的两对平面_,_.【解析】因为DAAB,DAPA,ABPA=A,所以DA平面PAB,同样BC平面PAB,又易知AB平面PAD,所以DC平面PAD.所以平面PAD平面ABCD,平面PAD平面PAB,平面PBC平面PAB,平面PAB平面ABCD,平面PDC平面PAD,共5对.选其中两对即可.答案:平面PAD平面ABCD平面PAD平面PAB(答案不唯一)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在长方体ABCD-A1B1C
6、1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E为AB的中点.求证:平面DD1E平面CD1E.【证明】在矩形ABCD中,E为AB的中点,AD=2,AB=4,所以DE=CE=2,因为CD=4,所以CEDE,因为D1D平面ABCD,所以D1DCE,因为D1DDE=D,所以CE平面D1DE,又CE平面CED1,所以平面DD1E平面CD1E.10.已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.【解析】(1)连接A1B.在
7、A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFA1B.又因为A1B平面A1B1BA,EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)因为AB=AC,E为BC的中点,所以AEBC,因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,所以BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1.又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NEB1B,且NE=B1B,所以NEA1A,且NE=A1A,所以A1AEN是平行四边形,所以A1NAE,且A1N=AE.又因为A
8、E平面BCB1,所以A1N平面BCB1,所以A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BMAA1,BM=AA1,所以A1ABM是平行四边形,所以A1MAB且A1M=AB.又由ABBB1,所以A1MBB1.在RtA1MB1中,A1B1=4.所以在RtA1NB1中,sinA1B1N=,所以A1B1N=30,即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30.【补偿训练】如图所示,在RtAOB中,ABO=,斜边AB=4,RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.求证:平面COD平面AOB
9、.【证明】由题意:COAO,BOAO,所以BOC是二面角B-AO-C的平面角.因为二面角B-AO-C是直二面角,所以COBO.又因为AOBO=O,所以CO平面AOB,因为CO平面COD,所以平面COD平面AOB.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.如图,AB是圆O的直径,PA圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有()A.2对B.3对C.4对D.5对【解析】选B.因为PA平面ACB,PA平面PAC,PA平面PAB,所以平面PAC平面ACB,平面PAB平面ACB.因为PA平面ACB,
10、CB平面ACB,所以PACB.又ACCB,且PAAC=A,所以CB平面PAC.又CB平面PCB,所以平面PAC平面PCB.所以互相垂直的平面有:平面PAC平面ACB,平面PAB平面ACB,平面PAC平面PCB.2.正三棱锥的高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是()A.60B.30C.45D.75【解析】选A.如图,设O为底面正三角形的中心,则PO平面ABC,所以OC=2.过O作OMBC于M,连接PM,则有PMBC,所以PMO即为侧面与底面所成的二面角.在直角CMO中,OM=OCsin 30=1,所以在直角MPO中,PM=2,所以cosPMO=.所以PMO=60.3.如图,四边形ABCD
11、中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABDCD,构成几何体A-BCD,则在几何体A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD平面ABCB.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDCD.平面ADC平面ABC【解析】选D.因为CD平面ABD,从而CDAB,又ABAD,ADCD=D,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.4.(多选题)下列四个命题中,正确的为()A.,则B.,则C.,则D.,则【解析】选AB.CD不正确,如图所示,但,相交且不垂直.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,P是二面角-AB-的棱AB上一点,分
12、别在,上引射线PM,PN,截PM=PN.若BPM=BPN=45,MPN=60,则二面角-AB-的大小是_.【解析】在内过点M作MOAB于点O,连接NO,设PM=PN=a.因为BPM=BPN=45,所以OPMOPN,所以NOAB,所以MON为二面角-AB-的平面角.连接MN.因为MPN=60,所以MN=a.又MO=NO=a,所以MO2+NO2=MN2,所以MON=90.答案:906.在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足_时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】连接AC,因为PA底面ABCD,所以PABD,因为四边形ABC
13、D的各边相等,所以ACBD,且PAAC=A,所以BD平面PAC,即BDPC,要使平面MBD平面PCD,只需PC垂直于面MBD上的与BD相交的直线即可,所以可填DMPC(或BMPC).答案:DMPC(或BMPC)三、解答题(每小题10分,共20分)7.在四面体ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD平面BCD.【证明】如图所示,因为ABD与BCD是全等的等腰三角形,所以取BD的中点E,连接AE,CE,则AEBD,BDCE.在ABD中,AB=a,BE=BD=a,AE=a.同理CE=a.在AEC中,AE=CE=a,AC=a,由于AC2=AE2+CE2,所以AECE,又
14、BDEC=E,所以AE平面BCD,又AE平面ABD,所以平面ABD平面BCD.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,ABCD,ABAD,且CD=2AB.(1)若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45,求二面角P-CD-B的大小;(2)若E为线段PC上一点,试确定点E的位置,使得平面EBD平面ABCD,并说明理由.【解析】(1)因为ABAD,CDAB,所以CDAD,又PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.又PAAD=A,所以CD平面PAD,又PD平面PAD,所以CDPD,所以PDA即是二面角P-CD-B的平面角.又直线PB与CD所成的角为45,所以PBA=45,所以PA=AB.所以在RtPAD中,PA=AD,所以PDA=45,即二面角P-CD-B的大小为45.(2)当点E在线段PC上,且满足PEEC=12时,平面EBD平面ABCD.理由如下:连接AC交BD于点O,连接EO.由AOBCOD,且CD=2AB,得CO=2AO,所以PEEC=AOCO=12,所以PAEO.因为PA底面ABCD,所以EO底面ABCD.又EO平面EBD,所以平面EBD平面ABCD.所以在线段PC上存在点E,满足PEEC=12时,平面EBD平面ABCD.
