1、单元素养检测(二) (第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.=2-i.2.若复数z-2+3i=1-i,则z=()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.3.复数z=在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数z=-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.【补偿训练】(2019天津高二检测)在复平面上,复数对应的点
2、在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意,复数=1+i,所以复数对应的点的坐标为位于第一象限.4.(2019全国卷)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.【解析】选D.z(1+i)=2i,z=i(1-i)=1+i.5.z是纯虚数的一个充要条件是()A.z+0B.z-0C.z0D.=-z(z0)【解析】选D.(1)设z=bi(b0),则=-bi,所以z+=0,所以=-z(z0).(2)设z=a+bi(z0),则=a-bi,因为=-z,所以a-bi=-(a+
3、bi),即a=0,又z0,所以b0,所以z是纯虚数,由(1),(2)知z是纯虚数的一个充要条件是=-z(z0).6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于()A.B.C.-D.-【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)a+3m+i=0,所以所以7.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H【解析】选D.由图可知z=3+i,所以=2-i,对应复平面内的点H.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的()A.充分而不
4、必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,则点M的坐标为(a+2,a-2),当a=1时,坐标为(3,-1),即点M在第四象限,若点M在第四象限,而a=1却不一定成立,故“a=1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知复数z=,则下列结论正确的是()A.z的虚部为iB.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=-1+i【解析】选BC.因为复数z=1+i,
5、则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.10.设z是复数,则下列命题中的真命题是()A.若z20,则z是实数B.若z20,则z是虚数C.若z是虚数,则z20D.若z是纯虚数,则z20【解析】选ABD.设z=a+bi,a,bRz2=a2-b2+2abi.对选项A:若z20,则b=0z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z20,则a=0,且b0z为纯虚数,所以z为虚数正确.对选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z20错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b0z20,所以z20正确.11.已知i为虚数单位,zC,下列
6、命题为真命题的是()A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=2+i,则z=+iD.若z(2+i)=10-5i,则=3-4i【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i,选项B是真命题.设z=x+yi(x,yR),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i,所以选项C是真命题.若z(2+i)=10-5i,则z=3-4i,=3+4i,选项D是假命题.12.下列复数不可能与复数+i(aR)相等的是()A.-2iB.a2+iC.3-
7、a2iD.3+a2i【解析】选ACD.由于+i不可能是纯虚数,而-2i是纯虚数,故-2i和+i不可能相等;当a2=,即a=1时,a2+i和+i相等;因为复数3-a2i的虚部-a20,而+i的虚部为1,故二者不可能相等;若3+a2i和+i相等,则而此方程组无解,故二者不相等.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.定义运算=ad-bc,若复数x=,y=,则y=_.【解析】依题意,y=4i(x+i)-2xi=4i2+2xi=-4+=-4+=-4+2=-2.答案:-214.若(a-2i)i=b-i,其中a,bR,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=_.【解
8、析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,=5.答案:515.已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a+b=_.【解析】因为=b+i,所以a+2i=bi-1,所以所以a+b=1.答案:116.已知+i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=_, b=_.【解析】把+i代入方程得a+b+1=0,即+i=0.所以即解得答案:1- 四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对
9、应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以
10、z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要a-20,所以a2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-20,所以a=-2或a=6.19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(mR).(1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(mR)在复平面上所对应的点在第二象限,所以解得-3m-,所以m的取值范围是.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2
11、+10m+10=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=.20.(12分)已知z1=cos +isin 2,z2=sin +icos ,当为何值时:(1)z1=z2;(2)z1,z2对应点关于实轴对称;(3)|z2|.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得=2k+(kZ).(2)因为z1与z2对应点关于实轴对称,所以即解得=2k+(kZ).(3)因为|z2|,所以,即3sin2+cos22,化简得sin2,解得-sin ,所以k-恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】依题意,得|z1|=,|z2|=,|z1|z2|z1|2|z2|2x4+x2+1x4+a2x2+1a2-1a1.所以实数a的取值范围是(-1,1).22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0(R,xC)(1)若此方程有实数根,求锐角的值;(2)求证:对任意的实数(+k),原方程不可能有纯虚数根.【解析】(1)设xR是方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan -2-i(x+1)=0.所以由得x=-1,代入得tan =1,所以锐角=.(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan +1)i=0.所以(*)因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.
