1、2020-2021学年北京市平谷区高二(下)期末数学试卷一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)1已知集合Ax|1x3,集合Bx|x1,那么AB()A(1,3)B(1,3)C(1,1)D(1,+)2已知ab,c0,那么()AB|a|b|CDacbc3已知f(x),那么f()()AB0CD4在(x+)7展开式中,含x项的系数为()A42B35C21D355已知等差数列an,a2+a410,a3+a58,那么数列an前6项和S6为()A54B40C12D276已知函数yf(x)的导函数图像,如图所示,那么函数yf(x)()A在(,1)上单调递增B在x0处取得极小值C在x1处切线斜率取得最大值
2、D在x2处取得最大值7由0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是()A180B156C108D588某商场举行”五一购物抽奖”活动,已知各奖项中奖率分别是:一等奖为,二等奖为,三等奖为,四等奖为,其余均为纪念奖某顾客获得2次抽奖机会,那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为()ABCD9“a0”是“函数f(x)exax在区间(0,+)上为单调增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10为参加市级技能大赛,某公司举办技能选拔赛,参加活动的员工需要进行两项比赛如表是报名的10名员工的各项比赛成绩(单位:分),其中有三个数据模糊 员工编号1234
3、5678910项目一成绩96929290888685848078项目二成绩8178a837877a1b7570已知两项成绩均排在前7名的只有5人,公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛,则下面说法正确的是()A2号员工参加市级比赛B3号员工参加市级比赛C7号员工参加市级比赛D8号员工参加市级比赛二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)11(2x)6的展开式各项系数之和为 12已知各项均为正项的等比数列an,q,a3a525,则a8 13命题“x0R,x022x0+30”,此命题的否定是 命题(填“真”或“假”)14已知不等式ax+8对任意正实数x恒成立,那么正实数a的最小值为 15“六
4、一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了3场演出已知第一场有19人出演,第二场有20人出演,第三场有18人出演,且前两场同时出演的人数是10人,后两场同时出演的人数是8人,那么参加此次演出活动的人数至少有 人三、解答题(本大题共6小题,共85分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16已知数列an,其前n项和为Sn,满足_()求数列an通项公式;()当Sn100时,求n的最大值请你从a11,an+1an+4;Sn2an1;a11,an+1+an2中选择一个,补充在上面的问题中并作答17口袋中装有除颜色外完全相同的10个球,其中黄球6个,红球4个从中不放回的摸3次球,每次摸出一个球()求至少摸到
5、2个红球的概率;()若共摸出2个红球,求第三次恰好摸到红球的概率18已知函数f(x)x23x+lnx()求曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程;()求函数f(x)的单调区间,并判断函数f(x)的零点个数19近期,某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生,将他们的成绩(单位:分)记录如表:成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男生(人数)25891女生(人数)ab1032()在轴取的50名学生中,从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人,求恰好男、女生各1名,且所在分数段不同的概率;()从该校参加活动的男学生
6、中随机抽取3人,设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;()试确定a、b为何值时,使得抽取的女生大赛成绩方差最小(只写出结论,不需要说明理由)20已知函数f(x)xe2x()求函数f(x)的极值;()设函数g(x)ax2+ax1(a),若x(1,+),有f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围21在递增数列an中,anN*,设mN*,记使得anm成立的n的最小值为bm()设数列an为1,3,4,5,写出b1,b2,b3,b4的值;()若an2n1,求b1+b2+b3+.+b100的值;()若an2n1,求数列bm的前2m项和公式参考答案一、选择题(共10小题).1已
7、知集合Ax|1x3,集合Bx|x1,那么AB()A(1,3)B(1,3)C(1,1)D(1,+)解:因为集合Ax|1x3,集合Bx|x1,所以ABx|1x3故选:B2已知ab,c0,那么()AB|a|b|CDacbc解:若ab0,可得,故A错误;取a2,b4,可得|a|b|,故B错误;若a0b,可得,又c0,可得,故C错误;若ab,c0,可得acbc,故D正确故选:D3已知f(x),那么f()()AB0CD解:,故选:A4在(x+)7展开式中,含x项的系数为()A42B35C21D35解:(x+)7展开式的通项公式为 Tr+1x72r,令72r1,求得r3,可得含x项的系数为35,故选:B5已
8、知等差数列an,a2+a410,a3+a58,那么数列an前6项和S6为()A54B40C12D27解:等差数列an,a2+a410,a3+a58,解得a17,d1,数列an前6项和S6671527故选:D6已知函数yf(x)的导函数图像,如图所示,那么函数yf(x)()A在(,1)上单调递增B在x0处取得极小值C在x1处切线斜率取得最大值D在x2处取得最大值解:由图像可得x(,1)时,f(x)0,f(x)单调递减,x1时,f(x)0,x(1,2)时,f(x)0,f(x)单调递增,x2时,f(x)0,x(2,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,所以在x1处f(x)取得极小值,在x2处f(x)
9、取得极大值,f(x)无最大值和最小值,结合选项可知A,B,D错误,由图像可知当x1时,f(x)取得最大值,即f(x)在x1处切线斜率取得最大值,故C正确故选:C7由0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是()A180B156C108D58解:根据题意,分2种情况讨论:0在四位数的个位,在剩下5个数字中任选3个,放在前3个数位即可,有A5360个四位偶数,2或4在四位数的个位,四位偶数的千位数字有4种可能,在剩下4个数字中任选2个,放在中间的2个数位即可,有24A4296个四位偶数,则有60+96156个四位偶数;故选:B8某商场举行”五一购物抽奖”活动,已知各奖项中奖率分别
10、是:一等奖为,二等奖为,三等奖为,四等奖为,其余均为纪念奖某顾客获得2次抽奖机会,那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为()ABCD解:由题意,一等奖为,二等奖为,三等奖为,四等奖为,其余均为纪念奖,2次抽奖中,至少抽得一次三等奖,有两种情况:两次中有一次抽到三等奖;两次均抽到三等奖故该顾客至少抽得一次三等奖的概率为故选:C9“a0”是“函数f(x)exax在区间(0,+)上为单调增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解:若函数f(x)exax在区间(0,+)上为单调增函数,则f(x)exa0在区间(0,+)上恒成立,a(ex)min,x(0,+),a1,
11、(,0(,1,a0是函数f(x)exax在区间(0,+)上为单调增函数的充分不必要条件,故选:A10为参加市级技能大赛,某公司举办技能选拔赛,参加活动的员工需要进行两项比赛如表是报名的10名员工的各项比赛成绩(单位:分),其中有三个数据模糊 员工编号12345678910项目一成绩96929290888685848078项目二成绩8178a837877a1b7570已知两项成绩均排在前7名的只有5人,公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛,则下面说法正确的是()A2号员工参加市级比赛B3号员工参加市级比赛C7号员工参加市级比赛D8号员工参加市级比赛解:由题意可得,项目一成绩在前7名的是编号
12、1,2,3,4,5,6,7,故选项C,D错误;因为两项成绩均排在前7名的只有5人,故编号1,2,3,4,5,6,7项目二成绩只有5个人在前7名,若a72,则a171,故编号3的员工项目二成绩不在前7,故选项B错误,编号2的员工两项成绩均排在前7名,故选项A正确故选:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分请把答案填在答题卡中相应题中横线上)11(2x)6的展开式各项系数之和为 1解:令x1,可得(2x)6的展开式各项系数之和为1,故答案为:112已知各项均为正项的等比数列an,q,a3a525,则a8解:由an是等比数列,得aa3a525,解得a45或a45(舍去),所以a8a4q4
13、5()4故答案为:13命题“x0R,x022x0+30”,此命题的否定是 真命题(填“真”或“假”)解:因为x22x+3(x1)2+20恒成立,所以不存在x0R,x022x0+30,故命题“x0R,x022x0+30”为假命题,所以它的否定为真命题故答案为:真14已知不等式ax+8对任意正实数x恒成立,那么正实数a的最小值为 16解:因为不等式ax+8对任意正实数x恒成立,所以ax28x+10,对任意正实数x恒成立,当a0时,不等式8x+10,即x,不符合对任意正实数x恒成立,当a0时,令f(x)ax28x+1,若对任意正实数x恒成立,则无解,或,解得a16,所以正实数a的最小值为16故答案为
14、:1615“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了3场演出已知第一场有19人出演,第二场有20人出演,第三场有18人出演,且前两场同时出演的人数是10人,后两场同时出演的人数是8人,那么参加此次演出活动的人数至少有 30人解:利用Venn图分析,第一场演出用红色表示,第二场演出用蓝色表示,第三场演出用黄色表示(三场演出均用椭圆形表示,重复部分为避免看不清,所以没有涂色)则参与此次演出人数最少的情况是:则参加此次演出活动人数最少为30人故答案为:30三、解答题(本大题共6小题,共85分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16已知数列an,其前n项和为Sn,满足_()求数列an通项公式;()
15、当Sn100时,求n的最大值请你从a11,an+1an+4;Sn2an1;a11,an+1+an2中选择一个,补充在上面的问题中并作答解:选:( I)因为an+1an+4,即an+1an4,所以数列an是首项为1,公差为4的等差数列 所以数列an通项公式an4n3,( II)因为S,当Sn100,即2n2n100,解得0n7,所以n的最大值为7 选:( I)因为Sn2an1,所以当n1时,S12a11,即a11,又Sn12an11(n2),两式相减,得:当n2时,SnSn1(2an1)(2an11),整理得an2an1(n2),即数列an是首项为1,公比为2的等比数列所以数列an通项公式a (
16、 II)因为S,当Sn100,即2n1100,解得0n6,所以n的最大值为6 选:()因为an+1+an2,所以an+an12(n2)两式相减得an+1an10(n2),即an+1an1(n2),又因为a1a21所以数列an是常数列所以数列an的通项公式为an1()因为数列an是常数列所以Snn,当Sn100,即n100,所以n的最大值为100 17口袋中装有除颜色外完全相同的10个球,其中黄球6个,红球4个从中不放回的摸3次球,每次摸出一个球()求至少摸到2个红球的概率;()若共摸出2个红球,求第三次恰好摸到红球的概率解:( I)设“至少摸到2个红球”为事件A,设“摸到2个红球“为事件B,“
17、摸到3个红球”为事件C,因为事件B与事件C互斥,所以ABC,所以,P(C),故P(A)P(BC)P(B)+P(C);( II)设“第三次恰好摸到红球”为事件D,事件D即为“在前2次中只摸到一个红球,第三次摸到第二个红球”,则有种情况,摸三次球,样本空间,所以P(D),即第三次恰好摸到红球的概率为18已知函数f(x)x23x+lnx()求曲线yf(x)在点(3,f(3)处的切线方程;()求函数f(x)的单调区间,并判断函数f(x)的零点个数解:()函数定义域为(0,+),f(3)ln3,切点为(3,ln3),又f(x)2x3+,f(3),即切线斜率为k,切线方程是y,即10x3y+3ln3300
18、;()令f(x)0,解得,x21, x(0,) (,1)1(1,+) f(x)+0_0+ f(x)极大值极小值如表格,函数f(x)的单调增区间是(0,)和(1,+),单调减区间是(,1),又函数f(x)的极大值f()0,当0x1时f(x)0恒成立,而函数f(x)在区间(1,+)上单调递增,f(1)0,f(3)ln30,存在x0(1,3),使得f(x0)0,即函数f(x)只有一个零点19近期,某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生,将他们的成绩(单位:分)记录如表:成绩50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男生(人数)
19、25891女生(人数)ab1032()在轴取的50名学生中,从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人,求恰好男、女生各1名,且所在分数段不同的概率;()从该校参加活动的男学生中随机抽取3人,设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;()试确定a、b为何值时,使得抽取的女生大赛成绩方差最小(只写出结论,不需要说明理由)解:( I)设“从大赛成绩在80(分)以上的人中随机取出2人,恰好男、女生各1名,且所在分数段不同”为事件A,由表格可得,随机抽取的50名学生中,成绩在80(分)以上的男生人数是10人,女生5人,共15人,即从15名学生中随机抽取2人,所以样本空间;如果这2
20、人恰好男、女生各1名,且分数段不同,即,所以事件A包含21个样本点,故P(A);(II)由数据可知,从抽取的25名男学生中随机抽取1人,该学生大赛成绩在80(分)以上的概率为,即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人,该学生大赛成绩在80(分)以上的概率,因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人,这3人中大赛成绩在80(分)以上的人数X的可能取值为0,1,2,3,又XB(3,),所以P(X0),P(X1),P(X20,P(X3),所以随机变量X的分布列为:X0123P数学期望E(X)0+1+2+3;()a0,b1020已知函数f(x)xe2x()求函数f(x)的极值;()设函数g(x)ax2+a
21、x1(a),若x(1,+),有f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围解:()f(x)xe2x,则f(x)e2x(1+2x),令f(x)0,x,所以x,f(x)0,即f(x)在区间(,)上单调递减;x,f(x)0,即f(x)在区间(,+)上单调递增;所以函数f(x)有极小值f(),无极大值(II)因为x(1,+),有f(x)g(x)恒成立,设函数H(x)f(x)g(x)xe2xax2ax+1(x1),则H(x)0恒成立因为H(x)e2x(1+2x)2axa(1+2x)(e2xa),当a0时,e2xa0,令H(x)0,可得x,所以H(x)0,得x;H(x)0,得1x,即H(x)在区间(1,)上
22、单调递减,在区间(,+)上单调递增因此函数H(x)在x时有最小值,当H()1+0,即4a0时,函数H(x)0在区间(1,+)恒成立当0a时,令H(x)0,x1lna,x2;当a,即x1x2时,H(x)0恒成立,即函数H(x)在区间(1,+)单调递增所以函数H(x)H(1)1e20,满足条件当0a,即x1x2时,H(x)0,xlna,x;H(x)0,lnax,若lna1,即0a时,H(x)在区间(1,)上单调递减,在区间(,+)上单调递增函数H(x)在x时有最小值,而H()1+0恒成立所以满足条件若lna1即a时,H(x)在区间(lna,)上单调递减,在区间(1,lna),(,+)上单调递增而H
23、(1)1e20,H()1+0,所以函数H(x)0在区间(1,+)恒成立综上,当4a时,函数H(x)0在区间(1,+)恒成立21在递增数列an中,anN*,设mN*,记使得anm成立的n的最小值为bm()设数列an为1,3,4,5,写出b1,b2,b3,b4的值;()若an2n1,求b1+b2+b3+.+b100的值;()若an2n1,求数列bm的前2m项和公式解:()令an1时,n的最小值b11,令an2时,n的最小值b22,令an3时,n的最小值b32,令an4时,n的最小值b43()由,即数列an是首项为1,公比为2的等比数列所以使得anm成立的n的最小值bm为:b11,b22,b3b43,b5b6b7b84,b9b10b11b12b13b14b15b165,b17b18.b326,b33b34.b647,b65b66.b1008,所以:b1+b2+.+b1001+2+23+44+85+166+328673()由题意an2n1,对于正整数,由anm,得根据bm的定义可知:当m2k1时,bmk;当m2k时,bmk+1b1+b2+b3+.+bm(b1+b3+.+b2m1)+(b2+b4+.+b2m),(1+2+3+.+m)+2+3+4+.+(m+1),m2+2m