1、松江区高三数学练习（满分150分，完卷时间120分钟） 20226考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分.2答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号.3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题1. 已知集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】根据集合交集运算求解.【详解】因为集合，集合，所以.故答案为：2. 若复数，其中为虚数单位，则_【答案】【解析】【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】故答案为：3. 已知角为的内角，则_【答案】#【
2、解析】【分析】根据同角三角函数，即可求解.【详解】由条件可知，.故答案为：4. 若函数的反函数的图像经过点，则=_【答案】2【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出的反函数，再代入计算可得；【详解】解：因为函数的反函数为，所以，即，所以或（舍去）；故答案为：5. 在的展开式中，含的系数为_【答案】【解析】【分析】由的展开式的通项公式，令，即可求得结论【详解】的展开式的通项公式为令，则，的展开式中含项的系数是.故答案为：6. 若实数、满足约束条件，则的最小值是_【答案】1【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数即可得解
3、.【详解】作出不等式组所表示可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：1.7. 从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为_【答案】#【解析】【分析】由列举法可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意任取两个不同的数字组成1个两位数，共有：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45,51,52,53，54共20个；其中偶数有：12，14，24，32，34，42，52,5
4、4共8个；故所求概率.故答案为：.8. 如图所示，在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小为_（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】【分析】取的中点F，连接DF，得到是异面直线与所成的角，然后利用余弦定理求解.【详解】解：如图所示：取中点F，连接DF，则是异面直线与所成的角，设正方体棱长为，则，所以，所以 ，故答案为：9. 已知正实数、满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，即，解得或（舍去），即的最小值为4，当且仅当时等号成立.故答案为：410. 已知数列的首项，且对任意的，都有，则_【答案】【解
5、析】【分析】构造法先求数列的通项，然后可得的通项，再求极限可得.【详解】因为，所以，变形得所以数列是以为首项，为公差的等差数列所以所以所以.故答案为：011. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_【答案】#【解析】【分析】设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质求得最大值.【详解】设，依题意，所以，所以，将点的坐标代入抛物线的方程得：，整理得，设直线的斜率为，则，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，所以的最大值为.故答案为：12. 已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，则当时
6、，方程实根的个数为_【答案】506【解析】【分析】转化为两个函数图像交点个数问题，然后作图结合周期性可得.【详解】因为，所以的图像关于对称又是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称，所以是周期为8的周期函数分别作出在上的图像，共2个交点；又刚好为的252个周期，易知在每个周期内有两个交点，上共有504个交点，综上，共有506个交点，即方程实根的个数为506.故答案为：506二、选择题13. 下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶
7、函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.故选：B.14. 在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】D【解析】【分析】根据平均值、中位数、众数、方差的定义即可得解.【详解】去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波
8、动性，故方差一定会变小.故选：D15. 设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得.【详解】由题知，则，因为，所以所以易知的最小值为.故选：B16. 已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，若点在正方形的边上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，当在上时，设，当时，当时，即，当在上时，设，则，知，当在上
9、时，设，当时，当时，即，当在上时，设，当时，当时，即.综上可得，故选：C三、解答题17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面， 是的中点，点在棱上（1）求四棱锥的全面积；（2）求证：【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可证出侧面为直角三角形，直接计算侧面底面面积求和即可；（2）先证出CD平面PAD，再得AF平面PDC，即可得证.【小问1详解】BC/AD，AD平面ABP，BC平面ABP，BCBP，,同理可得,.【小问2详解】PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又ABCD是矩形，CDAD，PAADA，CD平面PADAF平面PAD，AFCDPAAD，点F是PD的
10、中点，AFPD又CDPDD，AF平面PDCPE平面PDC，PEAF18. 在等差数列中，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式；（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由，得，解得，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，则，所以19. 如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域
11、为四边形记 （1）当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）（2）问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）【答案】（1）82 （2），4886【解析】【分析】（1）根据，求解，再用勾股定理求解即可（2）根据直角三角函数中的关系分别求得的面积，进而表达出四边形的面积，再令，化简再用基本不等式求解最小值即可【小问1详解】， 【小问2详解】，所以，所以，令，则此时，即时.故当时，监控区域四边形的面积最大约为20. 已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|2，直线l交椭圆于不同的两点M和N（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的斜率为1，且
12、以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；（3）若直线l与椭圆相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合，可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；（3）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程ykx+b，与椭圆方程联立，由0，可得b23+4k2，结合点到直线的距离公式，即可求得点F1、F2到直线l的距离之积为定值【小问1详解】因为|F1F2|2c2，则c1，因为a2，所以椭圆的方程；【小问2详解】因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为yx+m，设M（x1，
13、y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，则，因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则，所以，即整理得整理得，解得或，因为，显然当或时，成立所以直线l的方程为或；【小问3详解】证明：椭圆的左、右焦点分别为，当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆相切，所以直线l的方程为x2，此时点F1、F2到直线l的距离分别为d11，d23，所以d1d23，当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为ykx+b，联立，消去y整理得，所以，因为直线l与椭圆相切，则0，所以，因为到直线l的距离为，到直线l的距离为，所以，所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关
14、系，考查韦达定理，向量的坐标运算，点到直线的距离公式，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题21. 对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质（1）若，判断是否具有性质，并说明理由；（2）若，且具有性质，求m的最大值；（3）若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数【答案】（1）具有性质，理由见解析； （2）； （3）证明见解析.【解析】【小问1详解】对一切，且由于具有性质.小问2详解】令，则 具有性质，当时，恒有，即，.【小问3详解】函数具有性质，对任意的区间，当时，都有成立.下面证明此时，恒有或恒有若存在，使得，不妨设当或式中有等号成立时，与矛盾当两式中等号均不成立时， 的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾，同理可证也不可能.对任意的区间，当时，恒有或恒有， 对任意的，总存在，使得：，当时，此时在单调递增，当时，成立，此时在上单调递减，综上可知是上的单调函数.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高.
