1、华东师大一附中2021学年第二学期高一年级云自测数学试卷表1：积化和差公式：和差化积公式：，.一填空题（本大题共54分，第1题至第6题，每题4分；第7题至第12题，每题5分）1. 的共轭复数为_.【答案】#【解析】【分析】由共轭复数的概念求解即可.【详解】的共轭复数为.故答案为：.2. 已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为_.【答案】#【解析】【分析】由弧长公式直接求解即可.【详解】由弧长公式可得，弧长为.故答案为：.3. 如图所示，角的终边与单位圆交于点P，已知点P的坐标为，则_.【答案】#【解析】分析】先由三角函数定义求得，再由倍角公式求解即可.【详解】由三角函数的定义可得，
2、则.故答案为：.4. 设是等差数列，且，则的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的基本量计算求解即可.【详解】，故答案为：5. 已知向量，且在上的投影数量等于，则_.【答案】【解析】【分析】由数量投影的公式直接计算即可.【详解】在上的投影数量为，解得（舍）或.故答案为：.6. 数列的通项公式为，则_.【答案】10【解析】【分析】直接由数列的极限求解即可.【详解】由题意知，.故答案为：10.7. 已知点，若向量与同向，则点B的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设，由模长公式得出，进而由加法运算得出点B的坐标.【详解】由向量与同向，可设因为，所以即点B的坐标为.故答案为：8. 高一学生
3、将质量为20kg的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为45和30，则拉力与大小的比值为_.【答案】【解析】【分析】根据绳子拉力的水平方向上分力的合力为0可求出答案.【详解】设N，N，则，可得故答案为：9. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据的取值范围，利用平方关系得，利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】解：因为，所以，又，则，则.故答案为：.10. 利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知，则_.【答案】【解析】【分析】由和差化积和积化和差公式求得，进而求得，即可求解.【详解】，可得；，可得；则；.故答案为：.11. 已知数列的前n项和为，则_.
4、【答案】【解析】【分析】由求得，求出，由等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意得，又，则，故数列是以6为首项，为公比的等比数列，则.故答案为：.12. 我校高一同学发现：若是内的一点，、的面积分别为、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、的对边分别为、，且，若，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】分析可得出，可求得，利用余弦定理结合基本不等式可求得最小值，即可求得的最大值.【详解】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，由可得，所以，因为，则，所以，所以，可得，因为，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以，.故答案为：.【
5、点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. 以下说法正确的是（ ）A. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；B. 已知，是两个非零向量，则“存在实数，使得”是“”的充分必要条件C. 已知复数，在复平面内对应的点分别
6、为A，B，且A，B两点关于y轴对称，则一定是纯虚数D. 数列满足递推关系式，则该数列是严格增数列【答案】D【解析】【分析】由象限角的定义、向量的模及加法运算、复数的运算及复数的模、数列的递推及单调性依次判断即可.【详解】对于A，三角形的内角可以为，既不是第一象限角，也不是第二象限角，A错误；对于B，若，则，同向，则，即“存在实数，使得”不能推出“”，B错误；对于C，设，则满足关于y轴对称，不是纯虚数，C错误；对于D，由可得，则，又，故数列是严格增数列，D正确.故选：D.14. 用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】按照数学归纳法
7、类比题干条件逐项展开即可.详解】当时,左边等于;当时,左边等于，即左边等于；所以左边增乘的项为，故选：B.15. 已知函数的部分函数图像如下图，则（ ）A. B. C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得；由可知其周期为，结合可求得结果.【详解】由图象可得：，解得：；又，解得：，；，的周期为，又，.故选：C16. 已知数列的前n项和是，前n项的积是，n为正整数，则以下命题正确的个数是（ ）（1）若是等比数列，且数列是严格增数列，则（2）若是等比数列，则是等比数列（3）若是等差数列，则一定是等差数列（4）若为严格增数列，且每一项均为正整数，
8、当时，此时符合条件的数列只有一个A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据定义和条件，逐项分析推理可以求解.【详解】（1）依题意 ，即 ，等比数列 是正数列，不妨设公比 ，则 ，是递减数列， ，错误；（2）设的首项为 ，公比为q，则 ， ， ，若 ，则 是首项为 ，公比为q的等比数列；若 ，则 ，是各项为0的常数列，不是等比数列；故错误；（3）由题意，令 ，是等差数列，设公差为d，则有 ， ， ， ， 得： ， ， ，是等差数列；故正确；（4）对于 ，则必然有 ，即 ，由于 是正整数，解得 ，不符合题意，况且 ，也不是增数列，不存在这样的数列；故错误；故选：A.三解
9、答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17. 已知关于x的实系数一元二次方程有一对共轭虚根，（1）当时，求共轭虚根和；（2）若，求实数a的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由公式法求解即可；（2）由结合韦达定理求解即可.【小问1详解】当时，则方程的根为即【小问2详解】整理得，故18. 已知平面内给定三个向量，.（1）求；（2）若，求实数k.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由平面向量夹角的坐标公式求解即可；（2）先求出，再由解出即可.【小问1详解】；【小问2详解】，由可得，即，解得.19. 已知数列中，（1）求数列前n项和；（2）若数列满
10、足，前n项和；求【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）先判断出数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出通项，最后由求和公式求解即可；（2）先求出，再由裂项相消法求和即可.【小问1详解】由可得，则，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则，则；【小问2详解】由（1）知，则，则.20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）当a，b，c满足时，求的值.（2）在（1）的条件下，若，且，成等差数列，求的面积.（3）若是锐角三角形，且满足，求周长的取值范围.【答案】（1）； （2）； （3）【解析】【分析】（1）由余弦定理及余弦倍角公式即可求解；（2）先由等差数列及正弦定理求得，
11、再结合余弦定理求得，最后由面积公式求解即可；（3）由正弦定理结合差角公式得，再由角的范围结合三角函数的性质求得的范围，即可求得周长的范围.【小问1详解】由结合余弦定理可得，则；【小问2详解】由，成等差数列可得，由正弦定理可得，又，则，又由（1）知，则，则的面积为；【小问3详解】由正弦定理得，则，又是锐角三角形，则，可得，又周长为，故周长的取值范围为.21. 已知：（1）设，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，设数列的通项公式为，且，成等差数列，求m的值；（3）在（1）的条件下，数列，其中设，是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.【答案】（1）； （2）4； （3）存在【解析】【分析】（1）由向量的模长公式求得得数列是等比数列，再由等比数列的通项公式求解即可；（2）先由对数运算求出，再由等差中项求出即可；（3）先求出，由，时求得数列的最小值为，即可求解.小问1详解】，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则；【小问2详解】由（1）可得，则，又，成等差数列，则，则，解得；【小问3详解】由（1）知，则，易得，时，则；时，又随的增大而增大，则时，即；则数列的最小值为，则存在，使得对于任意满足.
