1、余弦定理、正弦定理应用举例距离问题【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa，c， Bb，c， Cc，a， Db，【解析】选D.由，可求出，由，b，可利用正弦定理求出BC.2学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 m B8 m C3 m D4 m【解析】选D.由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理，得，即AB4.3三国(220年280年)是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权元末明初的小说家罗
2、贯中依据这段历史编写三国演义全名为三国志通俗演义，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰(2小时)能走300公里，一天走10个小时，十天能到达吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城()(2.65)A七 B八 C九 D十【解析】选C.可以把魏蜀吴三国的都城位置分别记为A，B，C，由题意可知AB1 000公里，BC1 500公里，ABC60，由余弦定理得AC5001 325公里，1 32515108.8(天)，故叛徒大约九天能到达目的地4台
3、风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2402220t40cos 45302.化简得：4t28t70，所以t1t22，t1t2.从而|t1t2|1.二、填空题(每小题5分，共10分)5已知A船在灯塔C北偏东80，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为_. 【解析】在ABC中，ACB4080120，AB3 km，AC
4、2 km.设BCa km.由余弦定理，得cos ACB，即cos 120，解得a1或a1，即B到C的距离为a(1)千米答案：(1)千米6(2021福州高一检测)如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角ABC120；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角ADC150；从D处再攀登300米到达C处则石竹山这条索道AC长为_米【解析】在ABD中，BD200米，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以AD200(米).在ADC中，DC300米，ADC150，所以AC2AD2DC22AD
5、DCcos ADC(200)230022200300cos 150390 000，所以AC100(米).故石竹山这条索道AC长为100米答案：100三、解答题(每小题10分，共20分)7一海轮以20海里/小时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60方向上，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45方向上求：(1)船在B点时与灯塔P的距离；(2)已知以点P为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么船继续向正东航行，有无触礁的危险？【解析】(1)如图：在ABP中，PAB30，ABP135，所以APB15.由正弦定理得，所以BP20().(2)过P作PDAB，D为垂足PDBP
6、sin 45202055，故继续航行有触礁危险8在一次反恐作战战前准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A和B之间的距离，盟军在两个相距为a的观测点C和D处，测得ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图所示求基地组织的这两个训练营地之间的距离【解析】因为ADCADBCDB60，又DCA60，所以DAC60.所以ADCDACa.在BCD中，DBC45，所以，所以BCa.在ABC中由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2.所以ABa.故基地组织的两个训练营A和B之间的距离为a.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1如图所示为起重
7、机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A30 m B mC15 m D45 m【解析】选B.在ABC中，cos ABC，ABC(0，180)，所以sin ABC，所以在RtABD中，ADABsin ABC5(m).2(多选题)某船只在海面上向正东方向行驶了x km迅速将航向调整为南偏西60，然后沿着新的方向行驶了3 km，此时发现离出发点恰好3 km，那么x的值可以为()A3 B4 C5 D. 6【解析】选AD.设出发点为A，向东航行到B处后改变航向到达C，则ABx，AC3，BC3，ABC30，由正弦定理可得，即，所以sin BAC.所以
8、BAC60或120，(1)若BAC60，则ACB90，ABC为直角三角形，所以AB2AC6.(2)若BAC120，则ACB30，ABC为等腰三角形，所以ABAC3.【光速解题】解答本题时，也可以将选择项逐项代入验证，即可快速解答二、填空题(每小题5分，共10分)3如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以DB.在ABC和ADC中由余弦定理可得8252285cos (D) 3252235cos D，整理得cos D代入得AC23252235
9、49，故AC7.答案：74如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B.灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75，与A相距3海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为_海里，两艘轮船之间的距离为_海里【解析】连接AC，由题意可知ABBC5，ABCACBBAC60，CAD45，可得：AC5，根据余弦定理可得：CD2AC2AD22ACADcos CAD251825313，故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为海里答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)5在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的
10、南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离【解析】在ABC中，由题意得ABAC1.5812(km).在ACD中，由题意得ADAC1.52030(km).设ACx km，AB(12x)km，AD(30x)km.在ABC中，cos ACB，在ACD中，cos ACD.因为B，C，D在一条直线上，所以cos ACDcos ACB.所以，即，解得x.所以AB km，AD km
11、.即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.6(2021泉州高一检测)脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫如图，为得到峭壁上的A，B两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的P，Q两点处分别测得APQ1，BPQ1，APB，AQP2，BQP2，且PQs.(1)用1，2，s表示AP；(2)已知117，2150，s90.0米，51.3，又经计算得AP250.0米求AB.参考数据：sin 130.225，cos 130.974，sin 51.30.780，cos 51.30.625.【解析】(1)如图所示，APQ中，APQ1，AQP2，PQs，所以PAQ(12)，由正弦定理得，解得AP；(2)BPQ中，BPQ117，BQP2150，所以PBQ180 1715013，又s 90.0，由正弦定理得，PB200，APB中，APB51.3，由余弦定理得AB2AP2BP22APBPcos 51.32502200222502000.62540 000，解得AB200(米).
