1、上海市上海中学东校2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1. 已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则_【答案】3【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：由题意可得，且，解得.故答案为：3.2. 在等差数列中，公差，则_【答案】13【解析】【分析】根据等差数列的通项即可得解.【详解】解：因为，公差，所以.故答案为：13.3. 函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数的最小正周期.故答案为：4. 已知，则在方向上的数量投影为_【答案】【解析】【分析】根据投影定义求解即
2、可.【详解】解：由，得，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.5. 若1，x，y，z，9（xy）是等比数列，则实数_.【答案】-3【解析】【分析】由等比数列的性质直接计算即可得出结果.【详解】1，x，y，z，9（xy）是等比数列，.解得：.又，则.故答案为：6. 已知数列是公比为的无穷等比数列，且，则_【答案】【解析】【分析】由无穷等比数列极限的求法可直接构造等式，整理即可得到结果.【详解】，即.故答案为：.7. 已知平面向量，满足，且，的夹角为，则_【答案】【解析】【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为，且，的夹角为，所以， 所以故答案为：8. 利
3、用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了_项；【答案】【解析】【分析】根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.【详解】当时，不等式左边为；当时，不等式坐标为；故增加的项数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.9. 在中，“”是“”的_条件【答案】充分不必要【解析】【分析】在中，先化简，再根据充分、必要条件的定义判断即可.【详解】在中，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.10. 已知和均为等差数列，若，则的值是_【答案】12【解析】【分析】设数列和的公差分别为，根据题意可求得，再根据等
4、差数列的通项即可得解.【详解】解：设数列和的公差分别为，由，得，所以.故答案：12.11. 已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于、两点，且，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】延长交于点，则点为的中点，且，将用表示，再根据三点共线，可得的等量关系，再利用等量代换结合基本不等式即可得解.【详解】解：延长交于点，则点为的中点，且，故，又因为，所以，因为三点共线，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：.12. 已知数列满足，是数列的前项和，则_【答案】6072【解析】【分析】分为奇数和偶数两种情况讨论，即当时，有，当时，有，从而可得，即可得出答案.【详解】解：由，当时，有
5、，当时，有，所以，作差可得，所以，所以.故答案：6072.二、选择题（本大题满分16分，本大题共有4题）13. 下列结论中，正确的是（ ）A 零向量只有大小没有方向B. C. 对任一向量，总是成立的D. 与线段的长度不相等【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误故选：B14. 函数，（其中，） 其图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个
6、单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据函数所过的特殊点和正弦最小正周期公式，结合诱导公式和正弦型函数的变换性质进行判断即可.【详解】由函数图象可知：，函数过两点，设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此，即，因，所以，因为，所以，即，因此，而，而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图象，故选：B15. 某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求
7、每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）A. 2806万元B. 2906万元C. 3106万元D. 3206万元【答案】A【解析】【分析】设每个实验室的装修费用为，设备费为，依据题意可得，联立求解可得的值，根据每个实验室的改建费用不能超过1100万元，可求解取值范围，再利用等比数列的求和公式可求解总费用，即得解.【详解】设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为万元，则，且，解得，故.依题意，即，所以，总费用为：.故选：A.16. 数列满足，则的整数部分是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先根据数列的递推公式，利用
8、裂项相消法求和即可得到，再先判断，通过计算可判断出，即可求出结果.【详解】因为数列满足，所以，即，所以，所以，又因为，即，所以，所以，即，因此的整数部分是.故选：C.三、解答题（本大题满分48分，本大题共有5题）17. 已知，求下列各式的值：（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系求解即可；（2）先利用二倍角公式化简，然后计算即可.【小问1详解】【小问2详解】18. 已知向量，（1）求；（2）若向量与互相垂直，求的值【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可；（2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解.【
9、小问1详解】由，.【小问2详解】若向量与互相垂直，则，所以19. 已知数列（1）令，求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以，即，又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】解：由（1）得，则，两式相减得，所以20. 如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形白铁片上剪出一个平行四边形，使点在圆弧上，点在上，点在上，设，平行四边形的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值及相应的角【答案】（1） （2）的最大值为，此时【解析】【分
10、析】（1）分别过作于，于，则四边形为矩形,则,直接利用平行四边形的面积公式求解即可.（2）利用辅助角公式恒等变形求其最值即可.【小问1详解】分别过作于，于，则四边形为矩形由扇形半径为1m，得，.在中，,，.【小问2详解】由（1）得.，当时，.21. 已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和试问：是否存在关于的整式，使得恒成立（其中且），若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由时，时，即可求得；（2）由题意可得，则，可得，然后用累加法求得，即可得出答案【小问1详解】当时，当时，当时，也适合上式，所以；【小问2详解】，其中则，即，所以，由，累加得，所以，则，故存在关于的整式满足题意
