1、北京市大兴区2020届高三数学上学期期末考试检测试题（含解析）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A1，0，1，2，BxN|x4，则AB（）A. 1，0B. 0，1C. 1，0，1D. 0，1，2【答案】D【解析】【分析】对集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合BxN|x40，1，2，3集合A1，0，1，2，则AB0，1，2，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（）A. 2B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先
2、将数据从小到大排列，然后计算中间两个数的平均数，得到答案.【详解】数据从小到大排列为1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是.故选：C.【点睛】本题考查求一组数据的中位数，属于简单题.3.若向量，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算解答：选项A、选项B、选项C、，正确选项D、因为所以两向量不平行4.已知复数z在复平面上对应的点为（m，1），若iz为实数，则m的值为（）A. 1B. 0C. 1D. 1或1【答案】B【解析】【分析】根据复数z在复平面上对应的点，得到，根据为实数，得到的值.【详解】因为复数z在复平面上对应的点为，因为为实数，得
3、.故选：B.【点睛】本题考查根据复数的坐标写出对应的复数，根据复数的类型求参数的值，属于简单题.5.下列函数中，值域为（1，+）的是（）A. y=2x+1B. C. y=log2|x|D. y=x2+1【答案】A【解析】【分析】对四个选项分别求值域，从而得到答案.【详解】选项A中，因为，所以，即的值域为.选项B中，是由函数向左平移个单位得到的所以的值域为，选项C中，函数，值域为，选项D中，函数，值域.故选：A.【点睛】本题考查根据函数解析式求函数的值域，属于简单题.6.若数列an满足：a11，2an+12an+1（nN*），则a1与a5的等比中项为（）A. 2B. 2C. D. 【答案】C【解
4、析】【分析】根据条件判断出是等差数列，得到的值，然后计算出与的等比中项.【详解】由，得，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则.所以与的等比中项为.故选：C.【点睛】本题考查判断等差数列，求等差数列中的项，求等比中项，属于简单题.7.某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥体积为（）A. 4B. 10C. 12D. 30【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，然后根据三视图中的数据，得到几何体的体积.【详解】根据三视图得到几何体，如图所示，为底面是上底为，下底为的直角梯形，高为的四棱锥，所以其体积为：.故选：B. 【点睛】本题考查三视图还原几何体
5、，根据三视图求几何体的体积，属于简单题.8.设为非零向量，则“”是“与不共线”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由与不共线，得到，由不能得到与不共线，从而做出判断，得到答案.【详解】与不共线，则“”，当与反向时，满足，但不能得到与不共线“”是“与不共线”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查向量的加法法则，必要不充分条件，属于简单题9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为
6、（）A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】根据题意，分为动点M向左跳三次，向右跳三次，向左跳2次，向右跳1次，向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.【详解】根据题意，分4种情况讨论：，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有3，2，1，0，2，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M在数轴上可能位置的个数为6，5，4，3，2，1
7、，0，1，2，3，4，5，6共有13个，故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.10.某种新产品的社会需求量y是时间t的函数，记作：yf（t）.若f（0）y0，社会需求量y的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，f（t）的导函数f（t）满足：f（t）kf（t）（500f（t）（k为正的常数），则函数f（t）的图象可能为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，则或，即当或时，曲线的切线斜率接近，从而得到答案.【详解】因为，令，则或，即当或时，曲线的切线斜率接近，由选项可知，只有符合题意，故选：B.【点睛】本题考查函数的实际应用，考查导数的几
8、何意义，根据导数的值求函数图像切线的斜率，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.抛物线 的焦点到准线的距离为_【答案】【解析】 ，所以 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 .12.已知为偶函数，当时，则_.【答案】1【解析】【分析】根据为偶函数，得到，从而得到答案.【详解】为偶函数，且时，.故答案为：1.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求函数值，属于简单题.13.在中，若，的面积为1，则_.【答案】【解析】【分析】先求出的值，然后根据的面积求出，再利用余弦定理，得到的值.【详解】因为，且为内角，所以，因为，所以，由余弦定理，得，解得故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式的
9、应用，余弦定理解三角形，属于简单题.14.圆心在x轴上，且与双曲线的渐近线相切的一个圆的方程可以是_.【答案】满足方程：的任意均可【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后根据对称性设出圆的圆心，再利用圆与直线相切，得到半径，从而得到所求圆的方程.【详解】双曲线的渐近线方程为：，要使圆与两条渐近线相切，设圆的圆心为，则圆的半径为：，所以所求圆的方程为：，故答案为：满足方程：任意均可.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，根据直线与圆相切求圆的方程，属于中档题.15.已知，函数若，则的值域为_；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据，确定的解析式，然
10、后分别求出和时解析式，从而得到值域；【详解】当时，当时，当时，故时，的值域为；当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，的图像如图所示由图可知，解之得，故的取值范围是，故答案为：；.【点睛】本题考查求分段函数的值域，函数与方程，根据方程根的个数求参数的范围，属于中档题.16.小明用数列an记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak1，当第k天没下过雨时，记ak1（1k31）；他用数列bn记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk1，当预报第k天没有雨时，记bk1（1k31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3
11、1b3125，那么该月气象台预报准确的的总天数为_；若a1b1+a2b2+akbkm，则气象台预报准确的天数为_（用m，k表示）.【答案】 (1). 28 (2). 【解析】【分析】根据题意得到akbk1表示第k天预报正确，akbk1表示第k天预报错误，从而得到，根据得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若（），则表示第天预报正确，若（），则表示第天预报错误，若，假设其中有天预报正确，即等式的左边有个，个，则，解得，即气象台预报准确的天数为；于是若，则气象台预报准确的天数为.故答案为：，.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分
12、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式对进行化简，然后利用，得到的周期；（2）利用正弦型函数的性质，得到的最大值，以及此时的取值.【详解】（1）因为，所以的最小正周期为，（2）因为，所以，所以，当即时，函数取得最大值1.【点睛】本题考查求正弦型函数的周期和最值，属于简单题.18.如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；（2）从新增确诊的人数超
13、过100的日期中任选两天，用X表示新增确诊的人数超过140的天数，求X的分布列和数学期望；（3）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据走势图新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，从而根据随机事件的概率公式，得到答案；（2）根据题意得到X的所有可能值为0，1，2，从而得到相应的概率；（3）基于图表的数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势.【详解】（1）由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天，设事件为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，则.
14、（2）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140，所以X的所有可能值为0，1，2.所以，.所以X的分布列为X012P所以的数学期望为.（3）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少.预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当.预测三：该地区甲流疫情趋于减缓.预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发.（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）.【点睛】本题考查求随机事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查根据数据走势图进行预测，属于中档题.19.已知数列为等比数列，且，数列满足，若，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和为，若当且仅当
15、时，取得最大值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，得到和的值，从而得到公比，写出的通项；（2）由（1）得到的通项，根据，的前项和取得最大值，得到，从而解得的范围.【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，则，即.，即.数列的通项公式为，.（2）由（1）知，.故.数列是等差数列.当且仅当时，数列的前项和取得最大值，即.解得.实数的取值范围是.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量计算，根据等差数列前项和最大，求参数的范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.【答案】
16、（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）取中点，连结，可证明出，得到为平行四边形，通过，证明出平面；（2）取中点，连结，由平面平面，得到平面，从而以为原点，建立空间直角坐标系，得到，的坐标，然后通过，证明；（3）证明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通过法向量的夹角公式，得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取中点，连结，在等边三角形中，且，又因为，所以，又因为，所以，所以为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）证明：取中点，连结，因为三角形是等边三角形所以，因为四边形满足，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系
17、，则，所以，所以所以；（3）由（2）知，因为等边三角形中，为的中点，所以，平面，所以平面，所以是平面的法向量，又，设平面的法向量为，则，即，令，得，由，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线面平行，通过空间向量证明线线垂直，通过空间向量求二面角的大小，属于中档题.21.已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点的任意一条直线与椭圆交于，两点，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，得到，根据离心率得到，结合，得到，的值，从而得到椭圆方程
18、；（2）将问题转化为证明证明，易得直线的斜率不存在时结论成立，直线的斜率存在时，直线的方程为，与椭圆联立，得到，表示出，再进行计算，得到，从而证明.【详解】（1）因为，令，得，因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以，根据离心率为，得，结合，解得，所以椭圆的方程为.（2）要证明，只需证明，过，分别作轴的垂线段，易得：，所以只需证明，所以只需证明，只需证明.当直线的斜率不存在时，易得.当直线的斜率存在时，不妨设其为，则直线的方程为，联立消去y，得，设，则，直线的斜率，直线的斜率，.综上所述，.【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的关系，椭圆中的定值问题，考查化归与转化的思想和计算
19、能力，属于中档题.22.已知函数（1）求的单调区间；（2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间为，单调减区间为；（2）三条切线，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）对求导，分别令，得到的单调区间；（2）设切点坐标为，利用导数得切线斜率，表示出切线方程，代入过点，得到的方程，解出的值，从而得到结论；（3）设，分为，进行讨论，易得，时的情况，当时，易得时成立，时，令，利用导数，得到，从而得到的范围.【详解】（1），得，或；得，； 所以的单调增区间为，；单调减区间为； （2）过点可做的三条切线；理由如下：设切点坐标为，所以切线斜率所以过切点的切线方程为：，切线过点，代入得，化简得，方程有三个解，即三个切点横坐标，所以过点可做三条切线.（3）设，时，因为，所以显然对任意恒成立；时，若，则不成立，所以不合题意. 时，时，显然成立，只需考虑时情况；转化为对任意恒成立令（），则，当时，单调减；当时，单调增；所以，所以.综上所述，的取值范围.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数的几何意义求函数的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.
