1、2015-2016学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）AB5CD102过点（2，1）且倾斜角为60的直线方程为（）A1=0B3=0C +1=0D3若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqB（p）qC（p）qD（p）（q）4已知平面和直线a，b，若a，则“ba”是“b”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1
2、B与B1D1的中点，若=， =， =，则=（）A（+）B（+）C（）D（）6已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+2B2+C4+2D4+8从点P（2，1）向圆x2+y22mx2y+m2=0作切线，当切线长最短时m的值为（）A1B0C1D29已知点F1，F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，则MF1F2的面积为（）ABC1D210如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是左侧面ADD1A1上的一个动点，满足=1，则与的夹角的最大值为（）A3
3、0B45C60D75二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11若命题P：xR，x2+2x+20，则p：12已知=（1，3，1），=（1，1，3），则|=13若直线（1+a）x+y+1=0与直线2x+ay+2=0平行，则a的值为14如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设 AD=AA1=1，AB=2，P是C1D1的中点，则所成角的大小为， =15已知P是抛物线y2=8x上的一点，过点P向其准线作垂线交于点E，定点A（2，5），则|PA|+|PE|的最小值为；此时点P的坐标为16已知直线l：kxy+1=0（kR）若存在实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称
4、曲线C具有性质P给定下列三条曲线方程：y=|x|；x2+y22y=0；y=（x+1）2其中，具有性质P的曲线的序号是三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知圆C：x2+y22x4y+1=0（）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（）若直线l：axy+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值18在直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，DAB=60，ACBD=O，AB=AA1=1（）求证：OC1平面AB1D1（）求证：平面AB1D1平面ACC1A1（）求三棱锥A1AB1D1的体积19已知椭圆C： =1（ab0）的离心率
5、为，且经过点A（0，1）（）求椭圆C的标准方程；（）如果过点的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求证：AMN为直角三角形20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点（）求证：MNBC；（）若M，N分别为PB，PC的中点，求证：PBDN；求二面角PDNA的余弦值21抛物线y2=2px（p0）与直线y=x+1相切，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8（）求p的值；（） 线段AB的垂直平分线
6、l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（）求直线l的斜率的取值范围2015-2016学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）AB5CD10【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B2过点（2，1）且倾斜角为60的直线方程为（）A1=0B
7、3=0C +1=0D【考点】直线的点斜式方程【分析】由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线方程的点斜式，整理为一般式得答案【解答】解：直线的倾斜角为60，斜率k=tan60=，又直线过点（2，1），由直线方程的点斜式得：y+1=，化为一般式：故选：A3若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（）ApqB（p）qC（p）qD（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】根据命题q是假命题，命题p是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案【解答】解：命题q是假命题，命题p是真命题，“pq”是假命题，即A错误；“pq”是假命题，即B错误；“pq”是假
8、命题，即C错误；“pq”是真命题，故D正确；故选：D4已知平面和直线a，b，若a，则“ba”是“b”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由a，b，可得ba，反之不成立，可能b与相交或平行即可得出【解答】解：由a，b，可得ba，反之不成立，可能b与相交或平行“ba”是“b”的必要不充分条件故选：B5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若=， =， =，则=（）A（+）B（+）C（）D（）【考点】空间向量的加减法【分析】由空间向量运算法则得=，由此能求出结
9、果【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点， =， =， =，=+=（+）+（）=（+）+（）=+=（）故选：D6已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到【解答】解：由双曲线的离心率为，则e=，即c=a，b=a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x故选D7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+2B2+C4+2D4+【考点】由三视图求面积、体积【分
10、析】根据三视图作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征计算每个侧面的面积【解答】解：根据三视图作出三棱锥PABC的直观图，P在底面ABC中的射影为AB的中点D，ABAC，PD=1，AB=2，AC=SPAB=1SABC=由PD平面ABC得PDAC，故而AC平面PADACPAPA=，SPAC=1由勾股定理得PB=，PC=2，BC=，PB2+PC2=BC2，PBPCSPBC=三棱锥额表面积S=1+1+=2+2故选A8从点P（2，1）向圆x2+y22mx2y+m2=0作切线，当切线长最短时m的值为（）A1B0C1D2【考点】圆的切线方程【分析】确定圆心与半径，利用切线长最短时，CP最小，可得结论【解答】解：
11、圆x2+y22mx2y+m2=0，可化为圆（xm）2+（y1）2=1，圆心C（m，1），半径为1，切线长最短时，CP最小，|CP|=，m=2时，CP最小，切线长最短故选：D9已知点F1，F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，则MF1F2的面积为（）ABC1D2【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆性质和余弦定理推导出cosF1MF2=90，由此利用椭圆定义和定弦定理能求出MF1F2的面积【解答】解：点F1，F2是椭圆C： =1的焦点，点M在椭圆C上且满足|+|=2，+2|cosF1MF2=12，由余弦定理得2=12，联立，得：cosF1MF2=90，|MF1|+|MF2|=
12、2a=4，=16，|MF1|MF2|=（1612）=2，MF1F2的面积S=|MF1|MF2|=2=1故选：C10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是左侧面ADD1A1上的一个动点，满足=1，则与的夹角的最大值为（）A30B45C60D75【考点】平面向量数量积的运算【分析】先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间坐标系，如图所示，M是左侧面ADD1A1上的一个动点，设点M（x，0，z），其中（0x1，0z1），B（1，1，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=（x1，
13、1，z），=1x+z=1，即x=z，|=，|=，设与的夹角为，cos=，设f（x）=x2x+1，f（x）在0，上单调递减，在，1上单调递增，f（0）=1，f（）=，f（x）1，cos，=60，故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11若命题P：xR，x2+2x+20，则p：xR，x2+2x+20【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：xR，x2+2x+20，故答案为：xR，x2+2x+2012已知=（1，3，1），=（1，1，3），则|=6【考点】空间向量运算的坐标表示【分析】根据空间向量的坐标运算，求出，再
14、求它的模长【解答】解：=（1，3，1），=（1，1，3），=（2，4，4），|=6故答案为：613若直线（1+a）x+y+1=0与直线2x+ay+2=0平行，则a的值为1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】根据两直线平行时方程的系数关系，列出方程求出a的值【解答】解：直线（a+1）x+y+1=0与直线2x+ay+2=0互相平行，a（a+1）2=0，即a2+a2=0；解得a=1或a=2；当a=1时，2x+y+1=0，2x+y+2=0，平行，符合题意，a=2时，xy1=0，xy+1=0，平行，符合题意，所以实数a的值等于1或2，故答案为：1或214如图，在长方体ABCDA1B1C1
15、D1中，设 AD=AA1=1，AB=2，P是C1D1的中点，则所成角的大小为60， =1【考点】平面向量数量积的运算【分析】先建立空间坐标系，再根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间坐标系，如图所示，AD=AA1=1，AB=2，P是C1D1的中点，B1（1，2，1），C=（0，2，0），A1（1，0，1），P（0，1，1），=（1，0，1），=（1，1，0），=1+0+0=1，|=，|=设所成角为，cos=，=60，故答案为：60，115已知P是抛物线y2=8x上的一点，过点P向其准线作垂线交于点E，定点A（2，5
16、），则|PA|+|PE|的最小值为5；此时点P的坐标为（2，4）【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），定点A（2，5）在抛物线的外部，由抛物线的定义，|PA|+|PE|=|PA|+|PF|，则当P，A，F三点共线时，|PA|+|PE|最小，答案可得【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），定点A（2，5）在抛物线的外部，由抛物线的定义，|PA|+|PE|=|PA|+|PF|，则当P，A，F三点共线时，|PA|+|PE|最小，|PA|+|PE|的最小值为5，；此时点P的坐标为（2，4）故答案为：5；（2，4）16已知直线l：kxy+1=0（kR）若存在
17、实数k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，则称曲线C具有性质P给定下列三条曲线方程：y=|x|；x2+y22y=0；y=（x+1）2其中，具有性质P的曲线的序号是【考点】曲线与方程【分析】确定直线l：kxy+1=0（kR）过定点（0，1），曲线过定点（0，1），即可得出结论【解答】解：y=|x|与直线l：kxy+1=0（kR）至多一个交点，不具有性质P；x2+y22y=0圆心为（0，1），直线l：kxy+1=0（kR）过定点（0，1），故存在k=2，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P；y=（x+1）2，过点（0，1），直线l：kxy+1=0（kR）
18、过定点（0，1），故存在k，使直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=|k|，具有性质P故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知圆C：x2+y22x4y+1=0（）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（）若直线l：axy+4=0与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（）因为弦AB的长为2，所以点C到直线l的距离为1，即可求a的值【解答】解：（I）圆C的方程可化为（x1）2+（y2）2=4，圆心C（1，2），半径是
19、2当切线斜率存在时，设切线方程为y1=k（x3），即kxy3k+1=0因为，所以当切线斜率不存在时，直线方程为x=3，与圆C相切所以过点M（3，1）的圆C的切线方程为x=3或3x4y5=0（II）因为弦AB的长为2，所以点C到直线l的距离为因为所以18在直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，DAB=60，ACBD=O，AB=AA1=1（）求证：OC1平面AB1D1（）求证：平面AB1D1平面ACC1A1（）求三棱锥A1AB1D1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（I）由直平行六面体的结构特征可知AO1OC1，于是OC1
20、平面AB1D1；（II）由线面垂直的性质得AA1B1D1，由菱形的性质得A1C1B1D1，故而B1D1平面ACC1A1，于是平面AB1D1平面ACC1A1；（III）以A1B1D1为棱锥的底面，AA1为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可【解答】证明：（ I）设A1C1B1D1=O1，连接AO1因为AA1CC1且AA1=CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形所以A1C1AC且A1C1=AC因为底面ABCD是菱形，所以O1C1AO且O1C1=AO所以四边形AOC1O1是平行四边形所以AO1OC1因为AO1平面AB1D1，OC1平面AB1D1所以OC1平面AB1D1（ II）因为AA1平面A1
21、B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以B1D1AA1因为底面ABCD是菱形，所以B1D1A1C1，又因为AA1A1C1=A1，所以B1D1平面ACC1A1因为B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1平面ACC1A1（ III）由题意可知，AA1平面A1B1C1D1，所以AA1为三棱锥AA1B1D1的高因为所以三棱锥A1AB1D1的体积为19已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，且经过点A（0，1）（）求椭圆C的标准方程；（）如果过点的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求证：AMN为直角三角形【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆C： =1（ab0）经过点A（0，
22、1），求出b，由离心率为，求出a，由此能求出椭圆C的标准方程（）设MN的方程为，与椭圆联立，得，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能证明AMN为直角三角形【解答】（本小题满分14分）解：（）椭圆C： =1（ab0）的离心率为，且经过点A（0，1），b=1，解得a=2椭圆C的标准方程为 证明：（）若过点的直线MN的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件 若过点的直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为，由，得设M（x1，y1），N（x2，y2），则，A（0，1），=AMAN，AMN为直角三角形20如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，
23、底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点（）求证：MNBC；（）若M，N分别为PB，PC的中点，求证：PBDN；求二面角PDNA的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）推导出BCAD，从而BC平面ADNM，由此能证明MNBC（II）推导出PBMA，DAAB，从而DAPA再由PBDA，得PB平面ADNM，由此能证明PBDN以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz利用向量法能求出二面角PDNA的余弦值【解答】（本小题满分14分）证明：（I）因
24、为底面ABCD为直角梯形，所以BCAD因为BC平面ADNM，AD平面ADNM，所以BC平面ADNM因为BC平面PBC，平面PBC平面ADNM=MN，所以MNBC（II）因为M，N分别为PB，PC的中点，PA=AB，所以PBMA因为BAD=90，所以DAAB因为PA底面ABCD，所以DAPA因为PAAB=A，所以DA平面PAB所以PBDA因为AMDA=A，所以PB平面ADNM，因为DN平面ADNM，所以PBDN解：如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）由（II）
25、知，PB平面ADNM，所以平面ADNM的法向量为=（2，0，2）设平面PDN的法向量为=（x，y，z），因为，所以令z=2，则y=2，x=1所以=（1，2，2），所以cos=所以二面角PDNA的余弦值为21抛物线y2=2px（p0）与直线y=x+1相切，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8（）求p的值；（） 线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（）求直线l的斜率的取值范围【考点】抛物线的简单性质【分析】（）联立切线和抛物线方程，由判别式等于0求解p的值；（）由|AF|+|BF
26、|=8，利用抛物线的定义转化为x1+x2+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值；（）设出AB中点的坐标，写出直线l的方程，把AB中点坐标代入l的方程后得到AB中点坐标与直线l的斜率k的关系，由AB中点在抛物线内部列式求得k的取值范围【解答】解：（I）因为抛物线y2=2px（p0）与直线y=x+1相切，所以由得：y22py+2p=0（p0）有两个相等实根即=4p28p=4p（p2）=0得：p=2为所求（II）抛物线y2=4x的准线x=1且|AF|+|BF|=8，所以由定义得
27、x1+x2+2=8，则x1+x2=6设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C（m，0）由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|即所以即（x1+x22m）（x1x2）=4x24x1=4（x1x2）因为x1x2，所以x1+x22m=4又因为x1+x2=6，所以m=5，所以点C的坐标为（5，0）即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点（5，0）（III）设直线l的斜率为k1，由（II）可设直线l方程为y=k1（x5）设AB的中点M（x0，y0），由可得M（3，y0）因为直线l过点M（3，y0），所以y0=2k1又因为点M（3，y0）在抛物线y2=4x的内部，所以即，则因为x1x2，则k10所以k1的取值范围为2016年7月31日
