1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1空间直角坐标系中，点A(3,4,0)与点B(2，1,6)的距离是()A2 B2 C9 DD由条件知(5，5,6)，|.故选D.2在空间四边形ABCD中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为()A(2,3,3) B(2，3，3)C(5，2,1) D(5,2，1)B取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则， 所以(2，3，3)，故选B.3A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若，
2、则P，A，B，C四点()A不共面B共面C不一定共面D无法判断是否共面B由于1，P、A、B、C四点共面故选B.4已知平面的一个法向量为n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A BCDBy轴的一个方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.故选B.5.长方体ABCDA1B1C1D1中ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A BCDB建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，(1,0,2)，(1,2,1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的
3、余弦值为.故选B.6空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直D无法确定A空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，(2，2,2)，(1,1，1)，2，直线AB与CD平行故选A.7.如图是一平行六面体ABCDA1B1C1D1，E为BC延长线一点，2，则()ABCDB取BC的中点F，连接A1F(图略)，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以.又，所以，故选B.8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正
4、方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为()A BCDB以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为.故选B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分
5、，有选错的得0分)9已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有()A与是一对相反向量B与是一对相反向量C与是一对相反向量D与是一对相反向量ACDO为正方体的中心，故()，同理可得()，故()，AC正确；，与是两个相等的向量，B不正确；，()，D正确10在以下命题中，不正确的命题有()A|a|b|ab|是a，b共线的充要条件B若ab，则存在唯一的实数，使abC对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底ABCA.|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不
6、一定成立，故不正确；B.b需为非零向量，故不正确；C.因为2211，由共面向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确11在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有()AAC BBDCA1D DA1AACD建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)010，00，010.00110.与CE不垂直的有AC、A1D、A1A，故选ACD.12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCDA
7、1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为，面AED1与面AED的夹角为，则()ADF面AED1BdCsin Dcos BCD以A为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，(2，1,0)，(2，2,1)设平面AED1的法向量为m(x，y，z)，则由，得令x1，则y2，z2，故m(1，2,2)(2，2,1)，不存在使m，即与m不共线，DF与面AED1不垂
8、直故A不正确；又(0,0,2)，d，故B正确；又(2，1,0)sin |cos，m|.C正确；又(0,0,2)为平面AED的一个法向量，cos ，故D正确，故应选B、C、D.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，则_.1因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，则11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，则，解得.14.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E，F分别是面
9、A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为_以D为坐标原点，分别以，所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知E(1,1，)，F，E、F两点间的距离为|.15已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为_设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系AB2，A1B11，ACBD2，A1C1B1D1，平面BDD1B1平面ABCD，B1BO为侧棱与底面所成
10、的角，B1BO60，设棱台高为h，则tan 60，h，A(0，0)，D1，B1，C(0，0)，cos，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.16已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)则|2ab|_；在直线AB上，存在一点E，使得b，则点E的坐标为_(第一空2分，第二空3分)52ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.又t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，由b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此，此时点E的坐标为E.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤)17(本小题满分10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac与bc夹角的余弦值解(1)因为ab，所以，解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设ac与bc夹角为，因此cos .18(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC13，CD2，且C1CBC1CD60.(1)设a，b，c，试用a，b，c表示；(2)已知O为四棱柱ABCDA1B1C
12、1D1的中心，求CO的长解(1)由a，b，c，得abc，所以abc.(2)O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点由已知条件得|a|b|2，|c|3，ab0，a，c60，b，c60.由(1)得abc，则|22(abc)2a2b2c22ab2bc2ac2222320223cos 60223cos 6029.所以A1C的长为，所以CO的长为.19(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离解(1)证明：以D为原点，DA、DC、
13、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)(2,2,0)、(0,2,4)、(2，2,1)、(2,0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，点E到平面ACF的距离d.故点E到平面ACF的距离为.20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解(1)如图所示，以D为原点
14、，DA，DC，DD分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA1.则(1,0,0)，(0,0,1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)，因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.21(本小题满分12分)如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC2，M为BC的中点(1)证明：AMPM；(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；(3)求点D到平面AM
15、P的距离解(1)证明：以D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.(2)设n(x，y，z)为平面PAM的法向量，则即取y1，得n(，1，)取p(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，cosn，p.结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角为45.(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n(，1，)与平面PAM垂直，则d，即点D到平面AMP的距离为.22(本小题满分12分)如图，四棱锥S
16、ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图设底面边长为a，则高SOa.于是S，D，C，0，故OCSD，从而ACSD.(2)由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量，设所求角为，则cos ，平面PAC与平面DAC的夹角为30.(3)在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t而0t，即当SEEC21时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.
