1、第4讲不等式与合情推理考点1 不等式的解法考法全练1设ab，a，b，cR，则下列结论正确的是()Aac2bc2B.1Cacbc Da2b2解析：选C.当c0时，ac2bc2，所以选项A错误；当b0时，无意义，所以选项B错误；因为ab，所以acbc恒成立，所以选项C正确；当a0时，a2b2，所以选项D错误故选C.2已知关于x的不等式(ax1)(x1)0的解集是(，1)，则a()A2 B2C D.解析：选B.根据一元二次不等式与其对应方程的关系知1，是一元二次方程ax2(a1)x10的两个根，所以1，所以a2，故选B.3设x表示不超过x的最大整数(例如：5.55，5.56)，则不等式x25x60的
2、解集为()A(2，3) B2，4)C2，3 D(2，3解析：选B.不等式x25x60可化为(x2)(x3)0，解得2x3，即不等式x25x60的解集为2x3.根据x表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2x4.故选B.4在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是()A(3，5) B(2，4)C3，5 D2，4解析：选D.由x2(a1)xa0得(x1)(xa)1时，不等式的解集为(1，a)；当a0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解(3)有函数背
3、景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解注意求解含参数的不等式的易错点是不清楚对参数分类讨论的标准导致求解出错 考点2 基本不等式及其应用 考法全练1设x0，则函数yx的最小值为_解析：yx(x1)2.当且仅当x1，即x0时等号成立答案：2(2019高考天津卷)设x0，y0，x2y5，则的最小值为_解析：2.由x2y5得52，即，即xy，当且仅当x2y时等号成立.224，当且仅当2，即xy3时取等号，结合xy可知，xy可以取到3，故的最小值为4.答案：43某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存
4、储费用之和最小，则x的值是_解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：304设正数x，y满足log2(xy3)log2xlog2y，则xy的取值范围是_解析：由题意可知xy3xy(x0，y0)，所以xy3xy，即4(xy)12(xy)2，(xy6)(xy2)0，所以xy6.答案：6，)5已知向量a(x1，3)，b(1，y)，其中x，y都为正实数若ab，则的最小值为_解析：因为ab，所以abx13y0，即x3y1.又x，y为正实数，所以(x3y)2224，当且仅当x3y时取等号所以的最小值为4.答案：4
5、 规律方法利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值即化为ymBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值注意运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二
6、定”“三相等”所谓“一正”是指“正数”；“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到 考点3 简单的线性规划问题 考法全练1(一题多解)(2019高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为()A. 2B. 3C. 5 D. 6解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示由z4xy得y4xz，结合图形可知当直线y4xz过点A时，z最大，由得A(1，1)，故zmax4(1)15.故选C.法二：易知目标函数z4xy的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是
7、(1，1)，(0，2)，(1，1)，(3，1)当直线y4xz经过点(1，1)时，z5；当直线y4xz经过点(0，2)时，z2；当直线y4xz经过点(1，1)时，z3；当直线y4xz经过点(3，1)时，z13.所以zmax5，故选C.2(2019洛阳市统考)如果点P(x，y)满足，点Q在曲线x2(y2)21上，则|PQ|的取值范围是()A1，1 B1，1C1，5 D1，5解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为，最大值为4，又圆
8、M的半径为1，所以|PQ|的取值范围是1，5，故选D.3(2019郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足，则z的取值范围为_解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示z表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率由，得，即A(1，3)由，得，即B(2，)所以zmaxkOB，zminkOA3，所以z的取值范围为.答案：4已知变量x，y满足约束条件记z4xy的最大值是a，则a_解析：变量x，y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示作出直线4xy0，平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由解得所以A(1，1)，此时z4113，故a3.答案：3 求解策略简单的线性规划问题的解题策略在给
9、定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解，其主要解题策略为：(1)根据约束条件作出可行域(2)根据所要求的目标函数的最值，令目标函数z0，将所得直线平移，得到可行解，并确定最优解(3)将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解 考点4 合情推理 考法全练1(2019高考全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙解析：选A.依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成
10、绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.2观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式为_解析：观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an1
11、23n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n13祖暅(公元56世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆1(ab0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图)，称为椭球体，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于_解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱
12、，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V2(V圆柱V圆锥)2b2a.答案：b2a 规律方法合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要根据已知的部分个体，适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性 练典型习题提数学素养一、选择题1用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0
13、至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故应选A.2若abB.C|a|b| Da2b2解析：选B.因为ab，故A对，因为ab0，所以0b，aab，故B错因为abb0，即|a|b|，所以|a|b|，故C对因为abb0，所以(a)2(b)2，即a2b2，故D对3已知集合Mx|0，Nx|ylog3(6x211x4)，则MN()A. B.C. D.解析：选C.因为集合Mx|0x|10.所以MNx|x1，y1，且lg x，2，lg y成等差数列，则xy有(
14、)A最小值，为20 B最小值，为200C最大值，为20 D最大值，为200解析：选B.因为x1，y1，且lg x，2，lg y成等差数列，所以4lg xlg y，所以lg 104lg(xy)，所以xy10 000，所以xy2200，当且仅当xy100时取等号，所以xy有最小值，为200.故选B.9某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时，生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最
15、大值为()A320千元 B360千元C400千元 D440千元解析：选B.设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则z2xy，作出的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2xy0，平移该直线，当直线经过直线2x3y480与直线6xy960的交点(150，60)时，z取得最大值，为360.10设函数f(x)mx2mx1，若对于x1，3，f(x)m4恒成立，则实数m的取值范围为()A. B.C. D.解析：选A.由题意，f(x)m4，可得m(x2x1)5.因为当x1，3时，x2x11，7，所以m.因为当x3时，的最小值为，所以若要不等式m恒成立，则必须m0，所以可作出可行域，可知可行域的点A与
16、(1，1)连线的斜率最小，由解得A.z的最小值为，即a.12已知an，把数列an的各项排列成如下的三角形状：记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11，2)()A. B.C. D.解析：选D.由A(m，n)表示第m行的第n个数可知，A(11，2)表示第11行的第2个数，根据图形可知：每一行的最后一项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一项的项数为102100，即为a100，所以第11行第2项的项数为1002102，所以A(11，2)a102，故选D.二、填空题13不等式|x3|2的解集为_解析：不等式|x3|2，即2x32，解得1x2)的最小值为6，则正数m的值为_解析：因为x2，m0，
17、所以yx222222，当x2时取等号，又函数yx(x2)的最小值为6，所以226，解得m4.答案：415(2019洛阳尖子生第二次联考)已知x，y满足.若目标函数z3xy的最大值为10，则z的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示作出直线3xy0，并平移可知当直线过点A时，z取得最大值，为10，当直线过点B时，z取得最小值由得，即A，所以310，解得m5，可得点B的坐标为(2，1)，所以zmin3215.答案：516已知整数对的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第57个数对是_解析：(1，1)两数的和为2，共1个，(1，2)，(2，1)，两数的和为3，共2个，(1，3)，(2，2)，(3，1)，两数的和为4，共3个，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，两数的和为5，共4个，因为1234567891055，所以第57个数对在第11组之中的第2个数，从而两数之和为12，应为(2，10)答案：(2，10)
