1、北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（东城区2015届高三上学期期末）设等差数列的前项和为，若，则等于（）（A） （B） （C） （D）2、（海淀区2015届高三上学期期中）若等比数列满足，且公比，则（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题1、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列为等差数列，若，则的前项和_2、（丰台区2015届高三上学期期末）等差数列的前n项和为，如果，那么等于_3、（海淀区2015届高三上学期期末）在等比数列中，若，则公比_；当_时，的前项积最大.4、（石景山区2015届高三上学期期末）为等差数列，公差，、成等比数列，则 5、（西城区
2、2015届高三上学期期末）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么_6、（北京四中2015届高三上学期期中）在等差数列中，已知，则该数列前11项和 .7、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知等差数列中，为其前项和.若，,则公差_；数列的前_项和最大.8、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）数列的前项和记为，若，则数列的通项公式为_9、（海淀区2015届高三上学期期中）三、解答题1、（昌平区2015届高三上学期期末）已知数列满足，数列的前n项和为,，其中.(I) 求的值；(II) 证明：数列为等比数列；(III) 是否存在
3、，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由2、（朝阳区2015届高三上学期期末）若有穷数列，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”例如，和都是“对称数列”（）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列求的所有项和；（）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列求的前项和，.3、（东城区2015届高三上学期期末）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和4、（丰台区2015届高三上学期期末）已知数列满足.（I）求证：当时，数列为等比数列；（II）如果，求数列的前n项和；（III）如果表示不超过
4、的最大整数，当时，求数列的通项公式.5、（北京四中2015届高三上学期期中）已知数列满足：，.数列的前项和为，.（）求数列，的通项公式；（）设，.求数列的前项和.6、（朝阳区2015届高三上学期期中）在递减的等比数列中，设为其前项和，已知，.()求，；（）设，试比较与的大小关系，并说明理由.7、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）给定正奇数，数列：是1，2，的一个排列，定义E（，）为数列：，的位差和。（I）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；（II）若位差和E（，）=4，求满足条件的数列：，的个数；（III）若位差和，求满足条件的数列：的个数。8、（海淀区2015届高三上学期
5、期中）已知是各项均为正数的等比数列，且成等差数列.（）求的通项公式；（）求数列的前项和.参考答案一、选择题1、C2、C二、填空题1、2、153、；4 4、40295、 6、887、2；38、三、解答题1、解：(I) 因为，所以.（或者根据已知，可得. ） 3分 (II) 证明： ,，故数列是首项为1，公比为2的等比数列. 7分(III)由 (II) 知，所以.设，又.则由，得，设，则，所以在上单调递增，即，所以在上单调递增又因为，所以仅存在唯一的，使得成立13分2、（）依题意，.则，.则 .6分（）依题意，因为是50项的“对称数列”，所以， 所以当时，；当时，.综上， .13分3、 4、解：(
6、I)当时，设，则当时，因为，所以为常数因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列4分(II)由(I)知时为首项为，公比为的等比数列，所以，设，则相减得设，即9分(III)由(I)可知设，由二项式定理可知为整数所以所以13分5、解: （）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是，.当时，当时，又时，所以，. （）由（）知，所以.所以 (1)等式两边同乘以得(2)(1)-(2)得所以.6、()由已知可得，解得或.由上面方程组可知，且已知数列为递减数列,所以.代入求得, 则. .6分 （）依题意，；,由于函数在定义域上为增函数，所以只需比较与的大小关系，即比较与的大小关系，=,由于,即
7、,所以 .即，即 .13分 7、解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（II）若数列：，的位差和E（，）=4，有如下两种情况：情况一：当，且，其他项（其中）时，有种可能；（5分）情况二：当分别等于，或，或，其他项（其中）时，有种可能；（7分）综上，满足条件的数列：的个数为。（8分）例如：时， 情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，
8、1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。（III）将去绝对值符号后，所得结果为112233的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明，（10分）此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，2个和1个。（11分）上面的讨论表明，题中所求的数列是使得E（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为，的对应值，较小的个数的排列作为，的对应值，于是所求数列的个数为。综上，满足条件的数列的个数
9、为（14分）例如：时，E（）。此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。若E（）=12，此时时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为，将剩余数中较大的2个数的排列作为，的对应值，较小的2个数的排列作为的对应值，于是所求数列的个数为。4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；3，4，5，1，2
10、；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。题目背景：假设现在有种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这种物品进行排列依次编号为，其中是1，2，的一个排列，那么可以用数列：的位差和E（）=，来评判鉴别师的能力。当E（）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；当E（）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；第二问，位差和E（）=4时，给出数列：的情况；第三问，说明位差和E（）最大值为，且给出取得最大值时，数列：的情况。8、解：（）因为 成等差数列， 所以 . 2分 设数列的公比为，由可得， 4分即.解得：或（舍）. 5分 所以 . 7分（）由（）得：. 所以 8分 9分 . 13分
