1、北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2015届高三上学期期末）已知函数f (x) ln xa2x2ax (a)( I ) 当a1时，求函数f (x)的单调区间；( II ) 若函数f (x)在区间 (1，)上是减函数，求实数a的取值范围2、（朝阳区2015届高三上学期期末）设函数（）当时,求函数的单调区间；（）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围3、（大兴区2015届高三上学期期末）已知.（）若，求在处的切线方程；（）确定函数的单调区间，并指出函数是否存在最大值或最小值4、（东城区2015届高三上学期期末）已知函数，其中（）当时，
2、求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）若存在，使得不等式成立，求的取值范围5、（丰台区2015届高三上学期期末）已知函数.（I）求函数的极小值；（II）如果直线与函数的图象无交点，求k的取值范围.6、（海淀区2015届高三上学期期末）已知函数，. （）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（）求集合中元素的个数；（）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）7、（石景山区2015届高三上学期期末）已知函数.（）若是函数的极值点，求的值；（）求函数的单调区间. 8、（西城区2015届高三上学期期末） 已知函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.（）若点P的坐标为，求的值；（）已
3、知，求切点P的坐标.9、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数.（）求的单调区间；（）若，求函数图象上任意一点处切线斜率的取值范围.10、（北京四中2015届高三上学期期中）已知函数（）若为的极值点，求实数a的值；（）若在上为增函数，求实数a的取值范围.11、（朝阳区2015届高三上学期期中）已知函数.()求函数的单调区间;（）若在上是单调函数，求的取值范围.12、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）已知定义在上的函数，。（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若且对任意的恒成立，求的最大值。13、（海淀区2015届高三上学期期中）已知函数.（）若,求函数的
4、单调递减区间；（）若，求函数在区间上的最大值； （）若在区间上恒成立，求的最大值.参考答案1、解：（）当时，定义域是.，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 5分（）（法一）因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，则，即在上恒成立. 7分 当时，所以不成立. 9分 当时，对称轴.，即，解得所以实数a的取值范围是. 13分 （法二），定义域是.当时，在区间上是增函数，所以不成立. 8分时，令，即，则， 9分（i）当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是.因为函数在区间上是减函数，+所以，解得. 11分（ii）当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是.因为函数在区间上是
5、减函数，所以，解得.综上实数a的取值范围是. 13分2、（）解：当时，由得，解得或；由得，解得所以函数的单调增区间为,，单调减区间为 .5分 （）因为，又因为函数的图象总在的图象的上方，所以，即在恒成立又因为，所以，所以又，所以设，则 即可又由，注意到，解得；由，注意到，解得所以在区间单调递增，在区间单调递减所以的最小值为或因为，作差可知，所以所以的取值范围是 .13分 3、（）当时， 2分， 3分所以直线方程为，即 4分（）=其中， 2分令，得1） 当，即时，小于0等于0大于0小于0递减极小值递增递减的增区间是 ，减区间是和，当时，取得极小值。又时，所以有最小值； 6分2） 当时，的减区间是
6、和，无最大值和最小值。 7分 3）当时，的增区间是 ，减区间是和，当时，取得极大值。又时，所以有最大值。 9分 4、 5、解：(I)函数的定义域为因为，所以令，则00最小值所以当时函数有极小值6分(II)函数当时，所以要使与无交点，等价于恒成立令，即，所以当时，满足与无交点；当时，而，所以，此时不满足与无交点当时，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，由，得，即与无交点综上所述，当时，与无交点13分6、解：（）函数是偶函数，证明如下： 1分 对于，则. 2分 因为 ， 所以 是偶函数. 4分（）当时，因为 ，恒成立，所以 集合中元素的个数为0. 5分当时，令，由，得 .所以 集
7、合中元素的个数为1. 6分当时，因为 ，所以 函数是上的增函数. 8分因为 ，所以 在上只有一个零点. 由是偶函数可知，集合中元素的个数为2. 10分综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.（）函数有3个极值点. 13分7、（）函数的定义域为. 1分 . 3分因为是函数的极值点，所以.5分解得或.经检验，或时，是函数的极值点. 6分 （）由（）知：.由，令，解得.9分当时， 的变化情况如下表+0-极大值函数的单调递增区间是，单调递减区间是；11分当时，的变化情况如下表+0-极大值函数的单调递增区间是，单调递减区间是.13分8、（）解：由题意
8、，得， 1分 且， 3分 由已知，得，即， 解得，. 5分（）解：若，则，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ， ， 6分 由，得 ，其中， 代入，得 . （*） 7分 因为 ，且， 所以 . 8分 设函数 ， 则 . 9分 令 ，解得或(舍). 10分 当变化时，与的变化情况如下表所示，10 12分 所以当时，取到最大值，且当时. 因此，当且仅当时. 所以方程（*）有且仅有一解. 于是 ， 因此切点P的坐标为. 13分9、解：（）函数的定义域为. 当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.当时，得当变化时，变化情况如下 + 极小值所以的单调递增区间是，单调递减区间是.综上，当时，单调递增区间是
9、，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）当时，令， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知.10、（）解：1分因为x = 2为f (x)的极值点，所以 2分即，解得：a = 0 3分又当a = 0时，当时，时，从而x = 2为f (x)的极值点成立 6分（）解：f (x)在区间3，+)上为增函数，在区间3，+)上恒成立 8分当a = 0时，在3，+)上恒成立，所以f (x)在3，+)上为增函数，故a = 0符合题意 9分当a 0时，在区间3，+)上恒成立令，其对称轴为a 0，从而g (x)0在3，+)上恒成立，只要g (3)0即可，由，解得：a 0， 13分综上所述，a的取值
10、范围为0， 14分来11、() 的定义域为.（1）当时，则，时，为增函数；（2）当时，由得，或，由于此时，所以时,为增函数，时，为增函数；由得，考虑定义域，当，为减函数，时，为减函数；（3）当时，由得，或，由于此时，所以 当时，为增函数，时，为增函数. 由得，考虑定义域，当,为减函数，时，为减函数.综上，当时，函数的单调增区间为,.当时，函数的单调增区间为，,单调减区间为，.当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，.7分 （）解：（1） 当时，由() 可得，在单调增，且时.（2） 当时，即时，由() 可得，在单调增，即在单调增，且时.(3)当时，即时，由() 可得，在上不具有单调性，不合题意.
11、(4)当，即时，由() 可得，在为减函数，同时需注意，满足这样的条件时在单调减，所以此时或.综上所述，或或.14分 12、解：（I），则，故在上单调递增，（3分）而，所以存在唯一的零点。（6分）（II）由（I）存在唯一的零点显然满足：，且当时，；当时，当时，等价于，设。则，故与同号，因此当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，（10分）故，由题意有，又，而，故的最大值是3。（13分）13、解：（）当时，.，. 2分 令. 因为 ， 所以 . 3分 所以 函数的单调递减区间是. 4分 （）,.令，由，解得，（舍去）. 5分 当，即时，在区间上，函数是减函数.所以 函数在区间上的最大值为； 7分 当，即时，在上变化时，的变化情况如下表+-所以 函数在区间上的最大值为. 10分综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为.（）由（）可知：当时，在区间上恒成立； 11分当时，由于在区间上是增函数，所以 ,即在区间上存在使得. 13分 综上所述，的最大值为. 14分
