1、北京市人大附中2021届高三数学9月统练二试题（含解析）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，若， 则实数的值是（ ）A. 0B. 2C. 0或2D. 0或1或2【答案】C【解析】【分析】根据可得结果.【详解】因为，所以或，故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2. 命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定可得出正确选项.【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故选C.【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.3. 是（ ）A. 最
2、小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为的偶函数D. 最小正周期为的奇函数【答案】D【解析】【详解】由，所以该函数是奇函数且其周期为，故选D4. 设向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量均为单位向量所以所以“”是“”的充要条件故选：C【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.5. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】转化为比较、的正弦值的大
3、小，利用正弦函数的单调性比较可得答案.【详解】，因为在锐角范围内为增函数，且，所以，即.故选：D【点睛】本题考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于基础题.6. 在中，则面积等于（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】利用数量积运算性质可得，再利用角的范围得出，利用三角形的面积公式可得选项.【详解】因为在中，解得，又因为，所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，三角形的面积公式，熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式是解题的关键，属于中档题.7. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
4、析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8. 已知平面向量， 则下列结论中错误的是（ ）A. 向量与向量共线B. 若，则，C. 对同一平面内任意向量，都存在实数，使得D. 向量在向量方向上的投影为0【答案】C【解析】【分析】根据可知正确；根据平面向量基本定理可知正确；根据向量与向量共线可知当不与共线
5、，且时，不存在实数，使得，故不正确；根据向量在向量方向上的投影的定义计算可知正确.【详解】对于，因为，所以，所以向量与向量共线，故正确；对于，若，则，所以，解得，故正确；对于，因为，所以，所以当不与共线，且时，不存在实数，使得，故不正确；对于，向量在向量方向上的投影为，故正确.故选：C【点睛】本题考查了平面向量共线问题，考查了平面向量基本定理，考查了向量在向量方向上的投影的概念，属于基础题.9. 设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，当时，所以当时，达到最小即10. 某次考试的第二大题由8道判断题构成
6、，要求考生用画“”和画“”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲5乙5丙6丁？丁得分是（ ）A. 4分B. 5分C. 6分D. 7分【答案】C【解析】【分析】已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，即可得出结论.【详解】解：因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分.故选：C.【点睛】本题考查合情推理，属于基础题.二、填空题：11. 计算：_【答案】1【解析】【分析】利用可得结果.【详解】.故答案为：1【点睛】本题
7、考查了常用对数，考查了对数的运算法则，属于基础题.12. 已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积的几何意义判断求解即可【详解】画出图形如图，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，由图可知，在处时，取得最大值，此时，可得，即最大值为6，在处取得最小值，此时，最小值为，因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值，所以取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义及其应用，考查了向量在几何中的应用，同时考查了数形结合思想的应用，是中档题13. “定义在R上的函数，若对任意的，当都有，则为单调函数”能够说
8、明上述命题是错误的一个函数是_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案【详解】根据题意，定义在R上的函数，若对任意的，当都有，即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则，故答案为【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题14. 已知函数，则的最小正周期为_；若在区间上的最大值为，则的最小值为_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】化简得，根据周期公式可得周期，转化为在区间上的最大值为1，结合正弦函数的图象列式可得的范围，进而可得最小值.【详解】因为，所以的最小正周期，因为
9、在区间上的最大值为，所以在区间上的最大值为1，因为，所以，所以，即，所以的最小值为.故答案为：1，.【点睛】本题考查了降幂公式、二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式，考查了正弦型函数的最小正周期，考查了正弦型函数的最值，属于中档题.15. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则（1）函数的最大值是_；（2）函数的单调递增区间为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】作出函数的图象，分当点P在A点时，当点P在曲线上从A接近B时，当点P在B点时，当点P在曲线上从B接近C时，当点P在C点时，当点P在曲线上从C接近D时，当点P在D点时，当点P在曲
10、线上从D接近E时，分析的值和变化，从而得出的值和变化，可得答案.【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q()，如图所示：当点P在A点时，点Q在曲线OAB上，,；当点P在曲线上从A接近B时，减小，所以逐渐增大；当点P在B点时，,，当点P在曲线上从B接近C时，减小，所以逐渐减小；当点PC点时，；当点P在曲线上从C接近D时，增大，所以逐渐增大；当点P在D点时，；当点P在曲线上从D接近E时，增大,逐渐减小，依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为，故答案为：2；.【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.三、解答题：解答应写出文字说明，演
11、算步骤或证明过程16. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.【详解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17. 已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，证明：；（）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由【答案】（）；（）证明
12、见解析；（）函数在定义域内不是单调函数理由见解析【解析】【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得（）求得和，根据导数几何意义可知切线斜率为，从而得到切线方程；（）将所证不等式转化为；令，通过导数求得函数单调性，可得，即，从而证得结论；（）令，通过导数可知单调递减；利用零点存在定理可知在内存在零点，从而得到的符号，进而得到单调性，说明不是单调函数.【详解】由题意得：函数的定义域为，（），在点处的切线方程为：即（）当时，欲证，即证，即证令，则当变化时，变化情况如下表：极大值函数的最大值为，故（）函数在定义域内不是单调函数理由如下：令， 在上单调递减，存在，使得当时，从而，所以函数在上单调递增；当时
13、，从而，所以函数在上单调递减故函数在定义域内不是单调函数【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间.18. 已知数列，记集合.（1）对于数列，写出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由.（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题意直接书写即可；（2）假设
14、存在，使得，则有，则与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）首先证明时，不成立，次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.【详解】（1）由题意，集合，可得.（2）假设存在，使得，则有，由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，又因为，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在，使得成立.（3）首先证明时，对任意的都有，若，使得：，由于与均大于2且奇偶性不同，所有不成立其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数，其中.当时，由等差数列的性质有：此时结论成立.当时，由等差数列的性质有：，此时结论成立.对于数列，此问题等价于数列,其相应集合中满足：有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合中的项，所以的最大值为1001.【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论思的想，计算量比较大，属于难题.
