1、2006年北京市崇文区高三统一练习数学（文）试题第一卷（选择题，共40分）一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知向量a（5，3），b（2，x），且a/b，则x的值是 A. B. C. D. 2. 椭圆的准线方程是 A. B. C. D. 3. 已知直线m、n及平面、，则下列命题正确的是 A. B. C. D. 4. 已知集合，则p是q的 A. 充分条件，但不是必要条件 B. 必要条件，但不是充要条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 5. 方程xsinx在上实根的个数为 A. 1B. 2C. 3
2、D. 4 6. 已知是第二象限角，则的值为 A. 7B. -7C. D. 7. 等差数列中，已知，则n为 A. 20B. 21C. 210D. 218 8. 已知函数是R上的减函数，A（0，2）、B（3，2）是其图象上的两点，则的图象可能是ABCD第二卷（共110分）二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 若，则目标函数的最小值为_ 10. 函数的最小正周期是_；当函数取得最大值时，自变量x的集合是_ 11. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有五级台阶的楼梯，则有_种不同的走法。 12. 若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则_ 13. 若展开
3、式的第三项为168，则_ 14. 双曲线的左、右焦点为F1、F2，则左焦点F1到渐过线的距离为_，若双曲线上一点P使得为锐角，则P点横坐标的取值范围是_。三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题共13分） 已知一次函数 （I）当a3时，解不等式； （II）解关于x的不等式； （III）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围。 16. （本小题共14分） 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，且PAD为正三角形，E为侧棱PD的中点。 （I）求证：AE平面PCD； （II）求平面PAB与平面PDC所成二面角的大
4、小； （III）求直线PB与平面PDC所成角的大小。 17. （本小题共13分） 某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙阴明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战。假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为。现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求： （I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？ （II）设点球中乙队得分为随机变量，求乙队在五个点球中得分的概率分布和数学期望。 18. （本小题共12分） 已知数列满足，其中Sn为其前n项的和，a12 （I）证明：数列的通项公式为； （II）求数列的前n项和Tn； （III）是否存在无
5、限集合M，使得当时，总有成立，若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。 19. （本小题共14分） 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点。 （I）证明：ABO是钝角三角形； （II）求ABO面积的最小值； （III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程。 20. （本小题共14分） 为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题，我们可以分三步进行研究： （I）首先选取如下函数： ， 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标： 与其反函数的交点坐标为（1，1） 与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1） 与其反函数的交点坐
6、标为（），（1，0），（0，1） （II）观察分析上述结果得到研究结论； （III）对得到的结论进行证明。 现在，请你完成（II）和（III）。2006年北京市崇文区高三统一练习数学（文）试题答案一. 选择题 1. C2. B3. D4. B5. A6. A7. A8. B二. 填空题 9. 410. 11. 512. 13. -2，14. 4，或三. 解答题 15. 解：（I）时， 不等式的解集为6分 （II） ，所以 当a0时，得 当a0时，得12分 16. 证明：（I）连结BA交AB于O，连OE 三棱柱ABCABC是直三棱柱 四边形ABBA是矩形 O是BA中点。又E为CB中点 OE/CA
7、 平面ABE 平面ABE CA/平面ABE5分 （II）CB平面ABBA CBAB，CBBB 又BBAB，ABBCAA 四边形ABBA和四边形BBCC是全等的正方形 由三垂线定理得CBAB CBB是二面角CABB的平面角，CBB4510分 （III）ABBB，ABBC ABBBCC ABBBCC ACB是直线CA与平面BBCC所成的角 而 直线CA与平面BBCC所成的角为14分 17. 证明：（I）由 叠乘得：6分 解：（II） 10分 （III）令 得： 故满足条件的M存在，是一个这样的集合13分 18. （I）乙队踢进4个球的概率为 6分 （II）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率为
8、13分 19. 解：（I） 在1，0上是减函数，在0，2上是增函数 点是的一个极值点 4分 （II）令，解得 在0，2上是增函数，在4，5上是减函数 即 9分 （III）假设存在点M（x0，y0）使得曲线在点M处的切线的斜率为3，则，即，其中 无实数根 不成立 不存在点使得曲线在点M处的切线的斜率为3。14分 20. 解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程 由，得 为钝角，为钝角三角形5分 （II）由（I） 时取等号 面积的最小值是9分 （III）解法一 设过点A的切线方程为 由 得 令 解得 切线方程为 令，得 线段AC中点M为（x，0） 点M的轨迹方程为14分 解法二 由得 过点A的抛物线的切线方程为 令，得 线段AC中点M为（x，0） 点M的轨迹方程为14分
