1、河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题1（5分）已知集合M=x|x1，N=x|2x20，则MN=（）A，+）B1，C1，+）D（，1，+）2（5分）复数z=，则（）A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为iDz的共轭复数为1+i3（5分）函数f（x）=是（）A偶函数，在（0，+）是增函数B奇函数，在（0，+）是增函数C偶函数，在（0，+）是减函数D奇函数，在（0，+）是减函数4（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）ABCD5（5分）已sin（x）=，则sin2x的值为（）ABCD6（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）ABCD7（5分）执行如图所示的程
2、序框图，则输出的a=（）ABC5D8（5分）设向量，满足|=|=|+|=1，则|t|（tR）的最小值为（）A2BC1D9（5分）将函数f（x）=sin（x+）的图象关于x=对称，则的值可能是（）ABC5D210（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）AB+6C+5D+511（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）ABC1D212（5分）已知a0，且a1，则函数f（x）=ax+（x1）22a的零点个数为（）A1B2C3D与a有关二、填空题13（5分）函数f（x）=log2（2x1）的定义域为14（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y
3、的最小值是15（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为16（5分）在ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cosDAC=，cosC=，则AC+BC=三、解答题17（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，Sn=kn（n+1）n（kR），公差d为2（1）求an与k；（2）若数列bn满足b1=2，bnbn1=2（n2），求bn18（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：
4、分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点（1）求证：A1B平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离20（12分）已知
5、函数f（x）=2exax2（aR）（1）讨论函数的单调性；（2）当x0时，f（x）0，求a的取值范围21（12分）椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点当m=0时，=（1）求C的方程；（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值22（10分）如图，O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D（1）求证：AT2=BTAD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求A23（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（2，
6、4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值24（10分）设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）已知集合M=x|x1，N=x|2x20，则MN=（）A，+）B1，C1，+）D（，1，+）考点：并集及其运算 专题：集合分析：解不等式求出集合N，根据集合并集的定义得到答案解答：解：集合M=x|x1，N=x|2x20=x|x，MN=x
7、|x=，+），故选：A点评：本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题2（5分）复数z=，则（）A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为iDz的共轭复数为1+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可解答：解：复数z=1i显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为1+i正确故选：D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力3（5分）函数f（x）=是（）A偶函数，在（0，+）是增函数B奇函数，在（0，+）是增函数C偶函数，在（0，+）是减函数D奇函数，在（0，+）是减函数
8、考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性解答：解：f（x）的定义域为R，f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=2x为增函数，f（x）为增函数；故选B点评：本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定4（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）ABCD考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x2的准线方程解答：解：抛物线y=2x2可化为，焦点在y轴上，2p=，抛物线y=2x2
9、的准线方程是故选D点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题5（5分）已sin（x）=，则sin2x的值为（）ABCD考点：二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：利用角之间的关系将sin2x化为cos2x，再利用二倍角公式求解解答：解：sin2x=cos（2x）=12sin2（）=12=；故选C点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用6（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n=6，甲、乙相邻的基本事件个数m=2由此能求出
10、甲、乙相邻的概率解答：解：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n=6，甲、乙相邻的基本事件个数m=2甲、乙相邻的概率p=故选：B点评：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用7（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）ABC5D考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，当n=
11、3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=4，当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，当n=5时，不满足进行循环的条件，故输出的a值为5，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8（5分）设向量，满足|=|=|+|=1，则|t|（tR）的最小值为（）A2BC1D考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|t|2的最小值，开方可得解答：解：设向量，的夹角为，|=|=|+|=1，=1+1+211cos=1，解得cos=，=
12、，|t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，|t|的最小值为故选：D点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题9（5分）将函数f（x）=sin（x+）的图象关于x=对称，则的值可能是（）ABC5D2考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：当x=时，函数f（x）=sin（x+）的相位的终边落在y轴上，由此列式求得的可能取值解答：解：函数f（x）=sin（x+）的图象关于x=对称，+=k，kZ=6k+2，kZ当k=0时，=2的值可能是2故选：D点评：本题考查了y=Asin（x+）型函数的对称性，关键是对函
13、数具有对称性的理解，是基础题10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）AB+6C+5D+5考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可解答：解：三视图复原的组合体是下部是棱长为1的正方体，上部是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：511+41=+5，故选：D点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题11（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）ABC1D2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：
14、先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：B点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定12（5分）已知a0，且a1，则函数f（x）=ax+（x1）22a的零点个数为（）A1B2C3D与
15、a有关考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：令g（x）=ax2a，h（x）=（x1）2，而x=1时：g（x）=ax2a=a0，h（x）=（x1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点解答：解：令f（x）=0，得：ax2a=（x1）2，令g（x）=ax2a，h（x）=（x1）2，x=1时：ax2a=a0，（x1）2=0，a1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0a1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B点评：本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题二、填空题
16、13（5分）函数f（x）=log2（2x1）的定义域为（，+）考点：对数函数的定义域 专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）=log2（2x1）的定义域满足2x10，由此能求出结果解答：解：函数f（x）=log2（2x1）的定义域满足：2x10，解得x，函数f（x）=log2（2x1）的定义域为（，+）故答案为：（，+）点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用14（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是6考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：利用基本不等式和指数运算的性质即可得出解答：解：实数x，y
17、满足x+2y=2，3x+9y=3x+32y2=6，当且仅当x=2y=1时取等号因此3x+9y的最小值为6故答案为：6点评：本题考查了基本不等式和指数运算的性质，属于基础题15（5分）已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为x2=1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由C的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程解答：解：双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，=，
18、C的一个焦点到l的距离为1，=1，c=2，a=1，b=，C的方程为x2=1故答案为：x2=1点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用16（5分）在ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cosDAC=，cosC=，则AC+BC=3考点：解三角形 专题：解三角形分析：根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论解答：解：BD=2DC，设CD=x，AD=y，则BD=2x，cosDAC=，cosC=，sinDAC=，sinC=，则由正弦定理得，即，即y=，sinADB=sin（DAC+C）=+=，则ADB=，在ABD中，
19、即2=4x2+2x22=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=在ACD中，AC2=AD2+CD22ADCDcos=2+12=5，即AC=，则AC+BC=3，故答案为：3点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键三、解答题17（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，Sn=kn（n+1）n（kR），公差d为2（1）求an与k；（2）若数列bn满足b1=2，bnbn1=2（n2），求bn考点：等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）先利用Sn=kn（n+1）n（kR），用k把a1和a2表示出来，再结合d=2即可求出k，则首
20、项可求，通项可求；（2）对于数列bn所满足的条件，可采用迭代法，因为数列an通项已知，且b1已知，所以最终bn可求解答：解：（）由题设得a1=S1=2k1，a2=S2S1=4k1，由a2a1=2得k=1，则a1=1，an=a1+（n1）d=2n1（）bn=，由（）知，且b1=2，=显然n=1时，上式成立，综上所述，点评：本题主要考查了等差数列的基本量计算、迭代法求数列通项的问题前者主要是方程（组）的思想方法，后者要注意使用条件的判断18（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助随机抽取部分工人调查其高温室
21、外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图中，各组的累积频率为1，构造关于x的方程，解方程可得答案；（2）设中位数为t，则200.0125
22、+（t20）0.0250=0.5，解得中位数；（3）根据已知数据可得享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%，进而根据抽取的样本容量为25，得到结论解答：解：（1）由直方图可得：20（x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030）=1，解得x=0.0125（4分）（2）设中位数为t，则200.0125+（t20）0.0250=0.5，得t=30样本数据的中位数估计为30分钟（8分）（3）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员2512%=3人，抽取不享受补助人员2588%=22人（12分）点评：本题考查的知识点是
23、频率分布直方图，用样本估计总体，是统计基本概念的直接考查，难度不大，属于基础题19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点（1）求证：A1B平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DEA1B由此能证明A1B平面ADC1（）由（）知A1B平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，从则C到与平面ADC1的距离即为所求解答：（本小题满分12分）（）证明：连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC
24、1的中点连接DE，则DEA1B因为DE平面ADC1，所以A1B平面ADC1（4分）（）解：由（）知A1B平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求（6分）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以ADBC，又ADA1A，所以AD平面BCC1B1，平面ADC1平面BCC1B1作于CFDC1于F，则CF平面ADC1，CF即为所求距离（10分）在RtDCC1中，CF=所以A1到与平面ADC1的距离为（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力
25、的培养20（12分）已知函数f（x）=2exax2（aR）（1）讨论函数的单调性；（2）当x0时，f（x）0，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）先求函数的定义域，易知xR，然后对原函数求导，借助于函数y=2ex的图象，通过变换得到f（x）=2exa的图象，解不等式得到原函数的单调区间（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x0时，f（x）min0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解解答：解：（）f（x）=2exa若a0，则f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增；若a0，令f（x）=0得x=ln
26、，易知当x（，ln）时，f（x）0，f（x）在（，ln）上单调递减；当x（ln，+）时，f（x）0，f（x）在ln，+）上单调递增；综上，a0时，f（x）在（，+）上单调递增；a0时，f（x）在（，ln）上单调递减，在ln，+）上单调递增（）注意到f（0）=0（1）当a0时，则当x0，+）时，f（x）单调递增，只需f（x）min=f（0）=0，显然成立（2）当a0时若ln0，即0a2，则当x0，+）时，f（x）单调递增，f（x）f（0）=0，符合题意若ln0，即a2，则当x（0，ln）时，f（x）单调递减，又因为f（0）=0，所以此时f（x）0，不合题意综上所述，a的取值范围是（，2点评：本题
27、重点考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题对于此类问题在解不等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析，进行讨论；而不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，再进一步利用导数研究函数的单调性求最值21（12分）椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点当m=0时，=（1）求C的方程；（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）因为离心率为，所以=当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=，由此能求出椭圆C的方程（）l的方程为x=y+m，
28、代入，得25y2+20my+8（m225）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2=（x1m）2+=，同理|PB|2=，由此能证明|PA|2+|PB|2是定值解答：（本小题满分12分）解：（）因为离心率为，所以=当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=（2分）设A（x0，y0），则B（x0，y0），P（m，0），=又因为=，所以a2=25，b2=16，椭圆C的方程为（5分）（）l的方程为x=y+m，代入，并整理得25y2+20my+8（m225）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2=（x1m）2+=，同理|PB|2=（8分）则|PA|2+|PB
29、|2=（+）=（y1+y2）22y1y2=（）2=41所以，|PA|2+|PB|2是定值（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用22（10分）如图，O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D（1）求证：AT2=BTAD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求A考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为O的直径，即可求A解答：（1）证明：因为A=TCB
30、，ATB=TCB，所以A=ATB，所以AB=BT又AT 2=ABAD，所以AT 2=BTAD（4分）（2）解：取BC中点M，连接DM，TM由（1）知TC=TB，所以TMBC因为DE=DF，M为EF的中点，所以DMBC所以O，D，T三点共线，DT为O的直径所以ABT=DBT=90所以A=ATB=45（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题23（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（2，4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N（1）写出C的平
31、面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程sin2=2acos（a0），两边同乘以，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值解答：解：（1），方程sin2=2acos（a0），两边同乘以，曲线C的直角坐
32、标方程为y2=2ax（a0）；直线l的普通方程为xy2=0（2）联立方程组，消去y并整理，得t22（4+a）t+8（4+a）=0 （*）=8a（4+a）0设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1t2|由题设得（t1t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）24t1t2=|t1t2|由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）0，则有（4+a）25（4+a）=0，得a=1，或a=4a0，a=1点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题24（10
33、分）设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（）由m0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论（）分当2时和当2时两种情况，分别根据f（2）5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求解答：解：（）由m0，有f（x）=|x|+|x+m|（x）+x+m|=+m4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）4成立（）f（2）=|2|+|2+m|当2，即m2时，f（2）=m+4，由f（2）5，求得m当2，即0m2时，f（2）=+m，由f（2）5，求得0m1综上，m的取值范围是（0，1）（，+）点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题
