1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】一、必记3个知识点1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N_种不同的方法3两个原理的区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及_的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与_有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以
2、完成这件事；分步乘法计数原理与_有关，各个步骤_，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成二、必明2个易误点1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事情
3、是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()二、教材改编2已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各取一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A12 B8 C6 D43.如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线三、易错易混4已知a，b2,3,4,5,6,7,8,9，则logab的不同取值个数为_5某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为()A35 B
4、35 C35 D53四、走进高考62020山东卷6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A120种 B90种 C60种 D30种考点一分类加法计数原理自主练透型12021湘赣十四校联考有一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5名同学只会用综合法证明，有3名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为()A8B15C18D302椭圆1的焦点在x轴上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个数为_3如图，从A到O有_种不同的走法(不重复过
5、一点)悟技法1.分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.考点二分步乘法计数原理42016全国卷如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D95用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C
6、261 D27962021河北定州模拟将“福”“禄”“寿”三个字填入如图所示的44小方格中，每个小方格内只能填入一个字，且任意两个字既不同行也不同列，则不同的填写方法有()A.288种 B144种 C576种 D96种悟技法1.分步乘法计数原理的实质分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事2使用分步乘法计数原理的原则(1)明确题目中的“完成这件事” 是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都
7、完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.考点三两个计数原理的综合应用考向一：计数问题例1用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数(用数字作答)悟技法(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理 (2)注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.考向二：涂色问题例2现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A120 B14
8、0C240 D260悟技法解决涂色问题(1)要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色.变式练(着眼于举一反三)1用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个2.如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法()A24 B72 C84 D120第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识重温】m1m2mnm1m2mn完成一件
9、事情分类分步相互依存【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326，故选C.答案：C3解析：A城到B城到D城共有3412(条)，A城到C城到D城共有4520(条)，A城到D城共有122032(条)答案：324解析：(a，b)的不同的取值共有64个，其中logab1有8个，logab2有2个，logab有2个，logablog23有2个，logablog32有2个，则不同取值的个数为647111153.答案：535解析：根据题意，某人参加该项测试，第一关有3种测试方案，即有3种测试
10、方法，第二关有5种测试方案，即有5种测试方法，则有35种不同的测试方法答案：B6解析：CCC60.答案：C课堂考点突破考点一1解析：由题意知本题是一个分类计数问题：证明方法分成两类，一是用综合法证明，有5种选法，二是用分析法证明，有3种选法，根据分类加法计数原理知共有35 8种选法，故选A.答案：A2解析：因为焦点在x轴上，mn，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m5时，使mn，n有4种选择；第二类：m4时，使mn，n有3种选择；第三类：m3时，使mn，n有2种选择；第四类：m2时，使mn，n有1种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个答案：103解析：分3类：第一类，直接由A到
11、O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO和ACBO2种不同的走法由分类加法计数原理可得共有1225(种)不同的走法答案：5考点二4解析：本题以实际生活为背景，考查乘法计数原理从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有走法CC6种同理从F到G，最短的走法，有CC3种小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318.故选B.答案：B5解析：由分步乘法计数原理知：用0,1，
12、9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252，故选B.答案：B6解析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个字，有16种方法；(2)因为任意两个字既不同行也不同列，所以第二个字有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个字有4个格子可以放，有4种方法根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有1694576(种)故选C.答案：C考点三例1解析：要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复
13、，因此应先分类，再分步第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3454240(种)取法第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字根据分步乘法计数原理，有3354180(种)取法根据分类加法计数原理，共可以组成240180420(个)无重复数字的四位偶数答案：420例2解析：由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有
14、4种涂法，最后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有54(1433)260(种)，故选D.答案：D变式练1解析：由题意可得，比40 000大的五位数万位只能是4或5，当万位是4时，由于该五位数是偶数，个位只能从0或2中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有243248(种)情况；当万位是5时，由于该五位数是偶数，个位只能从0,2或4中任选一个，其余三位数字从剩下的四个数中任选三个，有343272(种)情况；由分类加法计数原理可得，满足题意的数共有4872120(个)答案：B2解析：如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按ABCD顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有432248(种)(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有431336(种)共有84种故选C.答案：C
