1、圆锥曲线二级结论在解题中的应用圆锥曲线结论问题的提出圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，对每一种性质给出一个例题与相应的反思题，列举如下：1焦点三角形的面积、离心率(1)设 P 点是椭圆x2a2y2b21(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2 为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|2b21cos；SPF1F2b2tan 2；esinF1PF2sinPF1F2sinPF2F1.(2)设 P 点是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2 为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|2b21cos；SPF1F2 b2tan 2；esin F1PF2|si
2、n PF1F2sin PF2F1|.2中心弦的性质设 A，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点 P 是曲线上与 A，B 不重合的任意一点，则 kAPkBPe21.3中点弦的性质设圆锥曲线以 M(x0，y0)(y00)为中点的弦 AB 所在的直线的斜率为 k.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2y2b21(ab0)，则 kABb2x0a2y0，kABkOMe21.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，则 kABb2x0a2y0，kABkOMe21.(3)若圆锥曲线为抛物线 y22px(p0)，则 kABpy0.4焦点弦的性质(1)过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F 且倾
3、斜角为(90)的直线交椭圆于 A，B 两点，且|AF|FB|，则椭圆的离心率等于1（1）cos .(2)过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 且倾斜角为(90)的直线交双曲线右支于 A，B 两点，且|AF|FB|，则双曲线的离心率等于|1（1）cos|.(3)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 倾斜角为 的直线交抛物线于 A，B 两点，则两焦半径长为p1cos，p1cos，1|AF|1|BF|2p，|AB|2psin2，SAOB p22sin.圆锥曲线性质例题讲述题型一 焦点三角形【例 1】在椭圆x225y291 上，PF1F2 为焦点三角形，如图所示(1)若 60，则PF
4、1F2 的面积是_；(2)若 45，75，则椭圆离心率 e_答案(1)3 3(2)6 22解析(1)由焦点三角形公式，得 SPF1F2b2tan 2，即 SPF1F23 3.(2)由公式 esin（）sin sin sin 60sin 45sin 75 6 22.题后反思(1)若 30，则PF1F2 的面积是_；(2)若 15，30，则椭圆离心率 e_题型二 中心弦的性质【例 2】设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上异于 A，B 两点，若 AP 与 BP 的斜率之积为12，则椭圆的离心率为_答案 22解析 kAPkBP12，e2112，e212，e 2
5、2.题后反思设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上异于 A，B两点，若 AP 与 BP 的斜率之积为9，则椭圆的离心率为_题型三 中点弦的性质【例 3】已知双曲线 E 的中心为原点，F(3，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M(12，15)，则 E 的方程为()A.x23y261 B.x24y251C.x26y231 D.x25y241答案 B解析 由题意可知 kAB1501231，kMO15012054，由双曲线中点弦中的斜率规律得 kMOkABb2a2，即54b2a2，又 9a2b2，联立解得 a
6、24，b25，故双曲线的方程为x24y251.题后反思（1）已知双曲线 E 的中心为原点，F(6，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M(6，20)，则 E 的方程为.（2）已知椭圆 E 的中心为原点，F(6，0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M(2，10)，则 E 的方程为.题型四 焦点弦的性质【例 4】已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 e 32，经过右焦点且斜率为k(k0)的直线交椭圆于 A，B 两点，已知AF3FB，则 k()A1 B.2C.3D2答案 B解析 3，
7、e 32，由规律得 32 cos 3131，cos 33，ktan 2.题后反思（1）设 F 为抛物线 C：y216x 的焦点，过 F 且倾斜角为 60的直线交 C 于 A、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的面积为。（2）设 F 为椭圆12222 byax的焦点，过 F 且倾斜角为 60的直线交 C 于 A、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 的面积为。最新模拟快递(2021广州调研)已知椭圆：x2a2y2b21(ab0)的长轴是短轴的 2 倍，过右焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 相交于 A，B 两点，且AF3FB，则 k()A1 B2 C.3D.2答案 D解析 依题意 a2b，e
8、1ba2 32，又 3，由 e1（1）cos 得 3231（31）cos ，|cos|33，又 k0，0，2，得 cos 33，ktan 2.高考题(全国卷)设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|6|OP|，则 C 的离心率为()A.5B2 C.3D.2答案 C解析 不妨设一条渐近线的方程为 ybax，则 F2 到 ybax 的距离等于 b，在RtF2PO 中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|6a，又|F1O|c，所以在F1PO与 RtF2PO 中，根据余弦定理得 cosPOF1a2c2（6a）22accosPOF2ac，即 3a2c2(6a)20，得 3a2c2，所以 eca 3.
