1、时间：45分钟满分：100分班级：_姓名：_学号：_得分：_一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013湖北)已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等 D离心率相等解析：双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，所以e1e2，而双曲线C1的实轴长为2a12cos ，虚轴长为2b12sin ，焦距为2c122，双曲线C2的实轴长为2a22sin ，虚轴长为2b22sin tan ，焦距为2c2222tan ，所以A、B、C均不对，故选D.答案：D2(2014山东实验中学)已知ABP的顶点A、B分
2、别为双曲线C：1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于()A. B.C. D.解析：在ABP中，由正弦定理得，故选A.答案：A3(2014华师附中一模)已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于()A1 B2C3 D4解析：9y2m2x21(m0)a，b，取顶点(0，)，一条渐近线为mx3y0，m2925，m4，故选D.答案：D4(2014荆门一模)已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足0，|2，则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：设双曲线方程为1，且M为右支上一点，由已知|MF1|MF
3、2|2a，|2|22|4a2.又0，.4c244a2，即b21.又c，a29.双曲线方程为y21，故选A.答案：A5(2014绍兴调研)P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A6 B7C8 D9解析：易知两圆圆心为F1(5,0)，F2(5,0)由双曲线方程知a3，b4，则c5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点|PM|PN|的最大值为如图所示的情况，即|PM|PN|PF1|F1M|(|PF2|NF2|)|PF1|2|PF2|12a32339，故选D.答案：D6(2014黄冈一模)我们把离心率为e的双曲线1(a0，b0)称为黄
4、金双曲线给出以下几个说法：双曲线x21是黄金双曲线；若b2ac，则该双曲线是黄金双曲线；若F1B1A290，则该双曲线是黄金双曲线；若MON90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确的是()A BC D解析：e，双曲线是黄金双曲线由b2ac，可得c2a2ac，两边同除以a2，即e2e10，从而e，双曲线是黄金双曲线|F1B1|2b2c2，|A2B1|2b2a2，|F1A2|2(ac)2，注意到F1B1A290，所以b2c2b2a2(ac)2，即b2ac，由可知双曲线为黄金双曲线|MN|，由射影定理知|OF2|2|MF2|F2N|，即c2，从而b2ac，由可知双曲线为黄金双曲线答案：D二、填空题(本大
5、题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7(2014西安一模)已知点P是双曲线1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|F2M|_.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，|F1M|F2M|PF1|PF2|2a，又|F1M|F2M|2c，解得|F1M|ac，|F2M|ca，从而|F1M|F2M|c2a2b2.答案：b28(2014荷泽调研)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)若双曲线上存在点P，使，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析：e1，|PF2|ca，
6、即e1，e22e11，1e0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A、B，若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析：如图，由题知OAAF，OBBF且AOB120，AOF60，又OAa，OFc，cos60，2.答案：210(2013湖南)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_解析：依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，求得|PF1|4a，|PF2|2
7、a.而|F1F2|2c，所以在PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，所以4a216a24c224a2ccos 30，即3a22acc20，所以ac0，故双曲线C的离心率为.答案：三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11(2014南昌模拟)已知双曲线1(ba0)，O为坐标原点，离心率e2，点M(，)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且0.求的值解：(1)e2，c2a，b2c2a23a2，双曲线方程为1，即3x2y23a2.点M(，)在
8、双曲线上，1533a2.a24.所求双曲线的方程为1.(2)设直线OP的方程为ykx(k0)，联立1，得|OP|2x2y2.则OQ的方程为yx，有|OQ|2，.12点P是以F1，F2为焦点的双曲线E：1(a0，b0)上的一点，已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|，O为坐标原点(1)求双曲线的离心率e；(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且，20，求双曲线E的方程解：(1)|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a.PF1PF2，(4a)2(2a)2(2c)2，即5a2c2，e.(2)由(1)知双曲线的方程可设为1，渐近线方程为y2
9、x.设P1(x1,2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)，3x1x2x1x2，20点P在双曲线上，1，化简得x1x2，a22，双曲线方程为1.13(2014上海高考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y21.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2y21相切，求证：OPOQ；(3)设椭圆C2：4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值解：(1)双曲线C1：y21，左顶点A，渐近线方程为：yx.过点A与渐近线yx平行的
10、直线方程为y，即yx1.解方程组得所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明：设直线PQ的方程是yxb，直线PQ与已知圆相切，1，即b22.由得x22bxb210.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2(x1b)(x2b)，x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|1，|OM|，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为ykx，则直线OM的方程为yx.由得|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d.(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，3，即d.综上，O到直线MN的距离是定值
