1、 基础题组练1已知直线l与双曲线y21相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则的值为()A3B4C5 D与P的位置有关解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x4y4，则直线l的方程是y0y1，题中双曲线的两条渐近线方程为yx.当y00时，直线l的方程是x2或x2.由，得，此时(2，1)(2，1)413，同理可得当直线l的方程是x2时，3.当y00时，直线l的方程是y(x0x4)由，得(4yx)x28x0x160(*)，又x4y4，因此(*)即是4x28x0x160，x22x0x40，x1x24，x1x2y1y2x1x2x1x2x1x23.
2、综上所述，3，故选A.2已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，ABC的顶点都在抛物线上，且满足0，则_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由，得y1y2y30.因为kAB，所以kAC，kBC，所以0.答案：03(2019合肥市第二次质量检测)已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解：(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆C2相切，所
3、以圆心C2(1，0)到直线l1：yx的距离d，即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)证明：法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k， 所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即B点的坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，其中O为坐标原点设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的
4、方程为yk(xx1)x，联立得，x212k(xx1)x，因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x，令x0，得B点坐标为(0，x)，所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，其中O为坐标原点，设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上4(2019河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由解：(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1
5、x20，因为mn0，所以y1y20，所以k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，所以|x1|，|y1|，所以SOPQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，所以x1x2，x1x2.因为y1y20，所以(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足0.所以SOPQ|PQ|b|2|b|1.所以OPQ的面积S为定值综合题组练1(2019高考全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，
6、过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形
7、ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.2(应用型)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F(1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由解：(1)由已知可得解得a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设过点D(0，2)且斜率为k的直线l的方程为ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.设存在点E(0，m)，则(x1，my1)，(x2，my2)，所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使得t(t为常数)，只需t，从而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，从而t，故存在定点E，使 恒为定值.
