1、单元素养评价(二)(第1012章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2020全国卷)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i【解析】选A.(1-i)4=(-2i)2=-4.2.(2020全国卷)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=()A.B.C.D.【解析】选A.由余弦定理可知cos C=,可得=3,又由余弦定理可知:cos B=.3.(2020昆明高一检测)在ABC中,已知sin Asin Bsin C= 357,那么ABC的最大内角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.在ABC中,因为sin Asin Bsin
2、 C=357,由正弦定理,可设ABC的三边分别为a=3m,b=5m,c=7m,其中m0,因为ca,cb,所以角C为三角形的最大角,由余弦定理可得cos C=-,又因为C(0,),所以C=120.4.(2020大理高一检测)已知点A(cos 10,sin 10), B,则=()A.1B.C.D.2【解析】选B.因为点A(cos 10,sin 10),B(cos 100,sin 100),所以|AB|=.5.(2020金华高二检测)已知x,cos=-,则cos=()A.B.C.D.【解析】选A.因为x,cos=-,所以-x-,所以x-,所以sin=,因此cos=cos=coscos+sinsin=
3、-+=.6.(2020扬州高一检测)在ABC中,AB=,AC=1,B=,则ABC的面积是()A.B.1或C.D.或【解析】选D.因为AB=,AC=1,B=,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,所以BC2-3BC+2=0,所以BC=1或BC=2,所以由ABC的面积公式SABC=ABBCsin B得SABC=或SABC=.7.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏
4、至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如表:黄赤交角23412357241324282444正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年【解析】选D.由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,
5、则-即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出,平面几何图形如图:则tan =1.6,tan =0.66,tan(-)=0.457.因为0.4550.4570, 由题意:a2+b2=10.(1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=a-2b+(2a+b)i,得a-2b=2a+b联立,解得a=3,b=-1,得z=3-i. (2)+=3+i+=3+(1-)i所以3+=0且1-0, 解得m=-5.18.(12分)(2020兰州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin
6、 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2+cos248-sincos 48;sin2+cos255-sincos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)三角恒等式为sin2+cos2-sin cos=.方法一:sin2+cos2-sin cos=sin2+-sin =sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=si
7、n2+cos2=.方法二:sin2+cos2-sin cos=sin2+cos=sin2+=sin2+=sin2+-=sin2+cos2-sin2=sin2+cos2=.方法三:sin2+cos2-sin cos=+-sin =-cos 2+(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-sin =1-+-sin 2-=.19.(12分)(2020北京高考)在ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sin C和ABC的面积.条件:c=7,cos A=-;条件:cos A=,cos B=.注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.【
8、解析】方案一:选.(1)由已知及余弦定理,cos A=,即-=,又a+b=11,解得a=8;(2)由(1)知,b=3,又sin2 A+cos2 A=1,0A0),x1,x2是函数f(x)的零点,且的最小值为.(1)求的值;(2)设,若f=,f=-,求cos(-)的值.【解析】(1)f=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-+=sin 2x-cos 2x=sin,因为的最小值为,所以=,即T=,所以=1.(2)由(1)知:f=sin,所以f=sin=sin=cos =,f=sin=sin=-sin =-,所以sin =,又因为,所以sin =,cos =,所以cos=cos cos
9、+sin sin =+=.21.(12分)(2020济南高一检测)在acos B+bcos A=2ccos C; 2asin Acos B+bsin 2A=a;ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,_,函数f=2sin xcos x+2cos2x的最小正周期为,c为f在上的最大值,求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.【解析】函数f=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1,函数f的最小正周期为,则=1,
10、f=2sin+1,当x时,2x+,f=3,故c=3,若选,acos B+bcos A=2ccos C,由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,可得sin=sin C=2sin Ccos C,cos C=,又C为三角形内角,则C=,由正弦定理得=2,所以a=2sin A,b=2sin B,则a-b=2sin A-2sin B=2sin A-2sin=sin A-3cos A=2sin,因为A,A-,故2sin.若选,2asin Acos B+bsin 2A=a,由正弦定理得2sin2Acos B+2sin Bsin Acos A=sin A,2sin Ac
11、os B+2sin Bcos A=2sin=2sin C=,sin C=,又C为三角形内角,则C=(C=舍去),由正弦定理得=2,所以a=2sin A,b=2sin B,则a-b=2sin A-2sin B=2sin A-2sin=sin A-3cos A=2sin,因为A,A-,故2sin.若选,ABC的面积为S,且4S=(a2+b2-c2),可得2absin C= ,sin C=cos C,tan C=,又C为三角形内角,则C=,由正弦定理得=2,所以a=2sin A,b=2sin B,则a-b=2sin A-2sin B=2sin A-2sin=sin A-3cos A=2sin,因为A,A-,故2sin.22.(12分)(2020江阴高二检测)已知复数z1=,z2=4-3i,其中a是实数.(1)若在复平面内表示复数z1z2的点位于第二象限,求a的取值范围;(2)若是纯虚数,a是正实数. 求a; 求+.【解析】(1)由题可得:z1=(a+i)2=a2-1+2ai,z1z2=+i,因为复数z1z2的点位于第二象限,所以解得-a,a的取值范围为-a.(2)依题意得:=,因为是纯虚数,则:即又因为a是正实数,则a=2.当a=2时,=i,+=i+(i)2+(i)3+(i)2 019+i2 020=0.
